Question

Esboce o gráfico da função y=x^2+2x-3 (demostrando o cálculo da(s) raiz(es), coordenadas do vértice e o encontro com o eixo y)

Answer 1

Como a função é do 2° grau (maior expoente de "x" vale 2), sua representação gráfica será uma parábola. Os coeficientes da função são:

--> a = 1

--> b = 2

--> c = -3

A concavidade dessa parábola é definida pelo sinal do coeficiente "a".

Como o sinal de "a" é positivo, a concavidade é voltada para cima.

Calculo das Raízes:

Podemos determinar as raízes utilizando a formula de Bhaskara:

$\Delta~=~2^2-4.1.(-3)~=~4+12~=~\boxed{16}\\\\\\\\x'~=~\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2~.~1}~=~\dfrac{-2+4}{2}~=~\dfrac{2}{2}~=~\boxed{1}\\\\\\\\x''~=~\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2~.~1}~=~\dfrac{-2-4}{2}~=~\dfrac{-6}{2}~=~\boxed{-3}$

Ponto Sobre o Eixo "y":

Sabemos que a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto (0 , c), como o coeficiente "c" vale -3, este ponto será:  (0 , -3)

Vértice da Parábola:

O vértice da parábola é o seu ponto máximo, quando o coeficiente "a" é negativo, ou seu ponto mínimo, quando "a" é positivo. Neste caso, como temos "a" positivo, o vértice representa seu ponto mínimo.

Vamos determinar então este ponto:

$Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{b}{2a}~,\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\\\\\\\\Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(-\dfrac{(-2)}{2~.~1}~,\,-\dfrac{16}{4~.~1}\right)\\\\\\\\Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(\dfrac{2}{2}~,\,-\dfrac{16}{4}\right)\\\\\\\\\boxed{Vertice:~~(V_x~,~V_y)~=~\left(1~,\,-4\right)}$

Com os 4 pontos de interesse (raízes, vértice e o ponto sobre o eixo "y"), basta localizarmos estes pontos no plano cartesiano e traçar uma parábola por eles.

O resultado deverá ser semelhante ao apresentado em anexo.