Question

Esboce e calcule a área entre as curvas $y = 9 - x^{2}$ e $y = (x + 3)^{2}$

Answer 1

Primeiro encontramos os dois pontos onde as curvas se intersectam. Para isso igualamos as duas funções:

$9 - x^2 = (x+3)^2$

$9 - x^2 = x^2 + 6 \cdot x + 9$

$2 \cdot x^2 + 6 \cdot x = 0$

$x \cdot (2 \cdot x + 6) = 0$

Assim, essa equação é satisfeita com: $x_1 = -3$ e $x_2 = 0$

Calculamos então as integrais:

$A = -\int_{-3}^0 (2 \cdot x^2 + 6 \cdot x) \cdot dx$

$A = -2 \cdot \int_{-3}^0 x^2 \cdot dx - 6 \cdot \int_{-3}^0 x \cdot dx$

$A = -2 \cdot \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{-3}^0- 6 \cdot \left[ \dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^0$

$A = -2 \cdot \left[ \dfrac{0^3 - (-3)^3}{3}\right]- 6 \cdot \left[ \dfrac{0^2-(-3)^2}{2}\right]$

$A = -2 \cdot \left[ \dfrac{0 - (-27)}{3}\right]- 6 \cdot \left[ \dfrac{0-9}{2}\right]$

$A = -2 \cdot 9+ 3 \cdot 9$

$A = -18+ 27$

$\boxed{A = 9}$