Question

Esboce e calcule a área no 2º quadrante limitada pelas parábolas $y = x^{2}$ e $x = y^{2} - 4$

Answer 1

Bom, verifique se o enunciado está correto.

Primeiro escrevo a segunda função em função de x:

$x = y^2 - 4$

$x+ 4 = y^2$

$y = \sqrt{x+4}$

Agora, precisamos descobrir as intersecções entre as duas funções, igualo as duas:

$x^2 = \sqrt{x + 4}$

Elevando ao quadrado dos dois lados:

$(x^2)^2 = \sqrt{x + 4}^2$

$x^4 = x+4$

$x^4 - x - 4=0$

Este polinômio tem apenas duas raízes reais:

$x_1 = 1.5338\text{ e }x_2 = -1.2838$

Como o enunciado pede a área no segundo quadrante, o segundo quadrante é definido por:

$-\infty < x \leq 0 \text{ e } 0 < y < \infty$

Assim, o intervalo de integração é entre -1,2838 e 0. Calculando a integral:

$A = \int_{-1,2838}^0 (\sqrt{x+4} - x^2) \cdot dx$

$A = \int_{-1,2838}^0 (x+4)^{\frac{1}{2}} \cdot dx - \int_{-1,2838}^0 x^2 \cdot dx$

$A = \left[\dfrac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}\right]_{-1,2838}^0-\left[\dfrac{x^2}{3}\right]_{-1,2838}^0$

$A = 2 \cdot \dfrac{(0+4)^{\frac{3}{2}}}{3} -2 \cdot \dfrac{(-1,2838+4)^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^2}{3}+ \dfrac{(-1,2838)^3}{3}$

$A = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{64}}{3} -2\cdot \dfrac{\sqrt{2,7162^3}}{3}- \dfrac{2,1159}{3}$

$A =\dfrac{16}{3} -2\cdot\dfrac{\sqrt{20,039}}{3}- \dfrac{2,1159}{3}$

$A =\dfrac{16}{3} -2\cdot \dfrac{4,4765}{3}- 0,7053$

$A =\dfrac{16}{3} -2,9843- 0,7053$

$\boxed{A \approx 1,6434}$