Question

Equações irracionais!

$\sqrt{2x + 3 } - \sqrt{x + 1} = 1$

Por favor, me expliquem como resolver passo a passo.. 

Answer 1

$\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$

Precisamos "tirar" essas raízes. Pra isso, vamos elevar os dois membros ao quadrado, mas antes, arrumando:

$\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}$

Elevando:

$(\sqrt{2x+3})^2=(1+\sqrt{x+1})^2$

$2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1$

Isolando essa raiz:

$2x+3-1-x-1=2\sqrt{x+1}$

$x+1=2\sqrt{x+1}$

Elevando os dois lados novamente:

$(x+1)^2=(2\sqrt{x+1})^2$

$x^2+2x+1=4(x+1)$

$x^2+2x+1=4x+4$

$x^2-2x-3=0$

$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$

$x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}=1\pm2$

$x'=1+2=3$ e $x"=1-2=-1$

Verificando:

$x=3$:

$\sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1}=1$

$\sqrt{9}-\sqrt{4}=1$

$3-2=1$

Verdade.

$x=-1$

$\sqrt{2\cdot(-1)+3}-\sqrt{-1+1}=1$

$\sqrt{1}-\sqrt{0}=1$

$1-0=1$

Verdade.

Portanto, $S=\{-1,3\}$.