Question

equações irracionais ® ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

$\sf x=\sqrt{4x+5}$

$\sf x^2=(\sqrt{4x+5})^2$

$\sf x^2=4x+5$

$\sf x^2-4x-5=0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)$

$\sf \Delta=16+20$

$\sf \Delta=36$

$\sf x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\dfrac{4\pm6}{2}$

$\sf x'=\dfrac{4+6}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{10}{2}~\Rightarrow~x'=5$

$\sf x"=\dfrac{4-6}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\Rightarrow~x"=-1$

• Para x = 5:

$\sf 5=\sqrt{4\cdot5+5}$

$\sf 5=\sqrt{20+5}$

$\sf 5=\sqrt{25}$

Verdadeiro

Assim, 5 é raiz

• Para x = -1:

$\sf -1=\sqrt{4\cdot(-1)+5}$

$\sf -1=\sqrt{-4+5}$

$\sf -1=\sqrt{1}$

Falso

Assim, -1 não é raiz

Logo, $\sf S=\{5\}$

2)

$\sf \sqrt{2x-5}-3=0$

$\sf \sqrt{2x-5}=3$

$\sf (\sqrt{2x-5})^2=3^2$

$\sf 2x-5=9$

$\sf 2x=9+5$

$\sf 2x=14$

$\sf x=\dfrac{14}{2}$

$\sf x=7$

Verificação

$\sf \sqrt{2\cdot7-5}-3=0$

$\sf \sqrt{14-5}=3$

$\sf \sqrt{9}=3$

Verdadeiro

Assim, 7 é raiz

Logo, $\sf S=\{7\}$

f)

$\sf x-\sqrt{5x}=0$

$\sf x=\sqrt{5x}$

$\sf x^2=(\sqrt{5x})^2$

$\sf x^2=5x$

$\sf x^2-5x=0$

$\sf x\cdot(x-5)=0$

• $\sf x'=0$

• $\sf x-5=0$

$\sf x"=5$

• Para x = 0:

$\sf 0-\sqrt{5\cdot0}=0$

$\sf \sqrt{0}=0$

Verdadeiro

Assim, 0 é raiz

• Para x = 5:

$\sf 5-\sqrt{5\cdot5}=0$

$\sf \sqrt{25}=5$

Verdadeiro

Assim, 5 é raiz

Logo, $\sf S=\{0,5\}$

g)

$\sf \sqrt{1+2x}-4=-1$

$\sf \sqrt{1+2x}=-1+4$

$\sf \sqrt{1+2x}=3$

$\sf (\sqrt{1+2x})^2=3^2$

$\sf 1+2x=9$

$\sf 2x=9-1$

$\sf 2x=8$

$\sf x=\dfrac{8}{2}$

$\sf x=4$

Verificação

$\sf \sqrt{1+2\cdot4}-4=-1$

$\sf \sqrt{1+8}=-1+4$

$\sf \sqrt{9}=3$

Verdadeiro

Assim, 4 é raiz

Logo, $\sf S=\{4\}$

n)

$\sf 2-x=\sqrt{x^2-12}$

$\sf (2-x)^2=(\sqrt{x^2-12})^2$

$\sf 4-4x+x^2=x^2-12$

$\sf x^2-x^2+4x=4+12$

$\sf 4x=16$

$\sf x=\dfrac{16}{4}$

$\sf x=4$

Verificação

$\sf 2-4=\sqrt{4^2-12}$

$\sf -2=\sqrt{16-12}$

$\sf -2=\sqrt{4}$

Falso

Assim, 4 não é raiz

Logo, não há solução real