Question

Equação logarítmica

a equação $x^{2} - 4x - 3 + log (k - 1) = 0$

tem raízes de sinais contrarios se, e somente se:

gabarito: 1 < k < 1 + 10^3

será que o gabarito está certo, eu resolvi umas 4 vezes essa equação e deu: 1 < k < 1 + 10^7

o gabarito está certo ou eu estou errado?

Answer 1

Inicialmente, temos que verificar a condição de existência do logaritmo:

k - 1 > 0
k > 1

Para que a equação do segundo grau tenha raízes reais e diferentes, o discriminante tem que ser positivo:

Δ > 0
(- 4)² - 4.1.[- 3 + log(k - 1)] > 0
16 + 12 - 4.log(k - 1) > 0
- 4.log(k - 1) > - 28
4.log(k - 1) < 28
log(k - 1) < 7
k - 1 < 10^7
k < 1 + 10^7

O resultado acima garante apenas que as raízes sejam reais e diferentes. Para que as raízes tenham SINAIS CONTRÁRIOS, o produto das raízes têm que ser negativo:

x'.x" < 0
c/a < 0
[- 3 + log(k - 1)]/1 < 0
log(k - 1) < 3
(k - 1) < 10³
k < 1 + 10³

Para contemplar todas as soluções, obtemos a seguinte intersecção:

1 < k < 1 + 10³.