Question

Equação irracional
Raiz de 2x-1 elevado a 2 = x-2 elevado a 2

Answer 1

Resposta:

$x1 = \sqrt{2} - 2 + \sqrt{9+4\sqrt{2} } \\x2 = \sqrt{2} - 2 - \sqrt{9+4\sqrt{2} }$

Explicação passo-a-passo:

Se eu entendi direito, a equação é:

($\sqrt{2}$x - 1)² = (x - 2)²

Certo?

Assim, temos:

2x² -2$\sqrt{2}$x + 1 = x² - 4x+ 4

2x² - x² -2$\sqrt{2}$x + 4x + 1 - 4 = 0

x² + (4 - 2$\sqrt{2}$)x - 3 = 0

Aplicando Bháscara, temos:

$x1 = \frac{-(4-2\sqrt{2})+\sqrt{(4 - 2\sqrt{2})^{2} - 4(1)(-3)}}{2(1)} \\x2 = \frac{-(4-2\sqrt{2})-\sqrt{(4 - 2\sqrt{2})^{2} - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

Calculando o delta, resulta em:

$(4 - 2\sqrt{2})^2 - 4(1)(-3) = 16 - 16\sqrt{2} + 8 + 12 = 36 + 16\sqrt{2}$ = $4(9 + 4\sqrt{2})$ (colocando 4 em evidência).

Resulta, FINALMENTE, em:

$x1 = \frac{2\sqrt{2}-4+\sqrt{4(9+4\sqrt{2}) } } {2} \\x2 = \frac{2\sqrt{2}-4-\sqrt{4(9+4\sqrt{2}) } } {2}$

$x1 = \frac{2\sqrt{2} - 4 + 2\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{2} \\x2 = \frac{2\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{2}$

Finalmente:

$x1 = \sqrt{2} - 2 + \sqrt{9+4\sqrt{2} } \\x2 = \sqrt{2} - 2 - \sqrt{9+4\sqrt{2} }$