Question

Equação irracional! como resolve?

$x-2= \sqrt{2x-1}$

O resultado é 5? como resolve?

Answer 1

O primeiro de tudo é sumir com esta raíz. Isto já facilita 100% nosso cálculo. Como fazemos para anular uma raiz? Basta elevar o termo ao quadrado. Porém, se elevarmos somente um lado da equação, isso comprometerá a igualdade da equação. Por isso, elevamos os dois lados ao quadrado.

$x-2 = \sqrt{2x-1} \\\\ (x-2)^{2} = (\sqrt{2x-1})^{2} \\\\ anula \ a \ raiz \\\\ (x-2)^{2} = 2x-1 \\\\ distribuindo \ os \ quadrados \\\\ x^{2}-4x+4 = 2x-1 \\\\ x^{2}-4x-2x+4+1 = 0 \\\\ x^{2}-6x+5=0$

Caímos numa equação de segundo grau, que basta resolvermos por Bhaskara:

$x^{2}-6x+5=0 \\\\ \Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c \\\\ \Delta = (-6)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (5) \\\\ \Delta = 36-20 \\\\ \Delta = 16$


$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\\\ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{6 \pm 4}{2} \\\\\\ \Rightarrow x' = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = \boxed{5} \\\\ \Rightarrow x'' = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = \boxed{1}$

Porém, temos que provar os resultados, testando-os:

$\rightarrow x = 1 \\\\ x-2 = \sqrt{2x-1} \\ 1-2 = \sqrt{2 \cdot (1)-1} \\ -1 = \sqrt{2-1} \\ -1 = \sqrt{1} \\ -1 \neq 1 \\\\\\ \rightarrow x = 5 \\\\ x-2 = \sqrt{2x-1} \\ 5-2 = \sqrt{2 \cdot (5)-1} \\ 3 = \sqrt{9} \\ 3=3$

Portanto, a única solução é o 5.

$\boxed{\boxed{S = \{5\}}}$