Question

Equação exponencial com parâmetro
(FGV) Considere a equação: $2^x + m2^-^x = 4$

a) Resolva a equação supondo m = 3.
b) Determine os valores de m para os quais a equação tem uma única solução.

gabarito

a) V ={0, log_2 3}
b) m = 4 ou m<= 0:

Answer 1

$2^x+m2^{-x}=4$

Reescrevendo:

$2^x+\frac{m}{2^x}=4$

MMC:

$\frac{2^x*2^x+m}{2^x}=4$

$\frac{(2^x)^2+m}{2^x}=4$

$(2^x)^2+m=4 * 2^x$

$(2^x)^2-4 * 2^x+m=0$

Para tornar a equação mais "amigável" é recomendável substituir a variável:

$y=2^x$ , então temos:

$y^2-4y+m=0$

a) Resolva a equação supondo m = 3.

$y^2-4y+3=0$

y = 1 ou y = 3

Sendo:

$2^x=y$ , aplicando $log_2$ dos dois lados, temos:

$log_2{2^x}=log_2{y}$

$xlog_2{2}=log_2{y}$

$x=log_2{y}$

Então:

$x=log_2{1} = 0$

$x=log_2{3}$
------------------------------------------------
b) Determine os valores de m para os quais a equação tem uma única solução.

Neste caso, o discriminante (Δ) da equação do segundo grau deve ser nulo:

$y^2-4y+m=0$

$\Delta=16-4m=0$

$4m=16$

$m=4$