Question

Equação exponencial com parâmetro
(FGV) Considere a equação:$2^x + m2^-^x = 4$

a) Resolva a equação supondo m = 3.
b) Determine os valores de m para os quais a equação tem uma única solução.

gabarito

a) V ={0, log_2 3}
b) m = 4 ou m<= 0:

Answer 1

Vamos lá.

A expressão é esta: 2^(x) + m*2^(-x) = 4 

Vamos logo deixá-la preparada para trabalharmos com ela. Veja que ela é equivalente a: 2^(x) + m*1/2^(x)  - 4 = 0 ---> 2^(x) + m/2^(x)  - 4 = 0
Agora veja que o mmc = 2^(x). Assim, utilizando-o em toda a expressão, ficaremos assim:

2^(x)*2^(x) + 1*m - 2*(x)*4 = 2^(x)*0  ----- desenvolvendo, teremos:
2^(2x) + m - 4*2^(x) = 0 ---- ordenando, teremos:
2^(2x) -4*2^(x) + m  = 0     .(I)

Veja: deixamos a expressão já "preparadinha", conforme (I) acima, para a utilizarmos no que for pedido.

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo, para um melhor entendimento.

a) Resolva a equação supondo m = 3. Então vamos substituir, na expressão (I), "m" por "3". Com isto, ficaremos:

2^(2x) - 4*2^(x) + 3 = 0 ----- vamos fazer  2^(x) = k. Com isso, ficaremos:

k² - 4k + 3 = 0 ----  aplicando Bháskara, encontramos:

k' = 1
k'' = 3.

Mas veja que fizemos 2^(x)  = k. Então:

a.i)  Para k = 1, teremos:

2^(x) = 1 ------ note que "1" poderá  ser substituído por 2⁰. Logo:
2^(x) = 2⁰ ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes:

x = 0 <----- Esta é uma raiz possível.

a.ii)  Para k = 3, teremos:

2^(x) = 3 ---- Como "3" não é potência de "2", então vamos aplicar logaritmo, na base 10, a ambos os membros, com o que ficaremos:

log₁₀ [2^(x)] = log₁₀ (3) ----  passando o expoente "x" multiplicando, temos:

x*log₁₀ (2) = log₁₀ (3)  ----- isolando  "x", ficaremos com:

x = log₁₀ (3) / log₁₀  (2) ---- note: como as bases são iguais, então poderemos reescrever a expressão assim:

x = log₂ (3)  <------ Esta é outra raiz possível.

Assim, resumindo, temos que:

x = 0; ou x = log₂ (3) , o que poderá ser sintetizado da seguinte forma:

V = {0; log₂ (3)} <---- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) Determine os possíveis valores de "m" para que a equação tenha uma única solução (ou seja, tenha apenas uma raiz real).

Como já deixamos tudo preparadinho conforme a expressão (I), temos:

2^(2x) - 4*2^(x) +  m = 0 ---- se fizermos 2^(x) = k, teremos:

k² - 4k +  m = 0

Como queremos que a equação acima tenha apenas uma solução (ou apenas uma raiz real), então vamos impor que o  seu delta (b²-4ac) seja igual a zero. Assim:

(-4)² - 4*1*m = 0 ------ desenvolvendo, teremos:
16  - 4m = 0
- 4m = - 16  ----- ou apenas:
4m = 16
m =  16/4
m = 4  <----- Este é um valor  possível para "m", pois se tivermos m = 4 na expressão (I)  dada, iremos encontrar apenas uma raiz real.

Agora resta-nos perguntar: e a equação dada só terá uma única solução se "m" for  igual a "4"?

Vamos ver: note que a expressão originalmente era esta:

2^(x) + m*2^(-x) = 4 ------ se "m" for igual a zero, teremos:
2^(x) + 0*2^(-x)  = 4 ------ como zero vezes alguma coisa dá resultado zero, então ficaríamos:

2^(x) + 0 = 4 ------ ou apenas:
2^(x) = 4 ------ como 4 = 2²,  teremos:
2^(x) = 2² ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:

x = 2 <--- Veja: encontramos uma única raiz se m = 0.

Assim, poderemos afirmar  que a equação terá uma única solução se:

m = 4; ou m = 0   ----- Esta é a resposta  para a questão do item "b".

Observação: você informa que  o gabarito, para a questão do item "b", dá como resposta: m = 4; ou m ≤ 0

Concordamos que o correto seja apenas para m = 4, ou para m = 0.
Não concordamos com que seja  m ≤ 0., pois assim, para  qualquer  valor de "m"  negativo iríamos ter uma única solução para a equação  e isso  não é verdade.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.