Question

equação exponencial ​

Answer 1

Resposta: S = {5/3}.

$\large\text{ \sqrt[x-1]{\sqrt[3]{2^{3x-1}}}=\sqrt[3x-7]{8^{x-3}} }$

Como há radicais nessa equação exponencial, usarei esta propriedade da radiciação: $\sqrt[a]{b^c}=b^{\frac{c}{a}}$.

$\large\text{ \sqrt[x-1]{2^{\frac{3x-1}{3}}}=8^{\frac{x-3}{3x-7}} }$

$\large\text{ 2^{\frac{\frac{3x-1}{3}}{x-1}}=8^{\frac{x-3}{3x-7}} }$

$\large\text{ 2^{\frac{3x-1}{3}\cdot\frac{1}{x-1}}=8^{\frac{x-3}{3x-7}} }$

$\large\text{ 2^{\frac{3x-1}{3x-3}}=8^{\frac{x-3}{3x-7}} }$

O modo de resolver uma eq. exp. baseia-se em ter essa igualdade aí que encontramos. Então o que farei agora é deixar as potências numa mesma base de modo que eu possa igualar os expoentes (não esquecendo da propriedade: $(a^b)^c=a^{bc}$):

$\large\text{ 2^{\frac{3x-1}{3x-3}}=(2^3)^{\frac{x-3}{3x-7}} }$

$\large\text{ 2^{\frac{3x-1}{3x-3}}=2^{\frac{3x-9}{3x-7}} }$

$\dfrac{3x-1}{3x-3}=\dfrac{3x-9}{3x-7}$

Agora vai uma condição: 3x – 3 ≠ 0 ∧ 3x – 7 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 ∧ x ≠ 7/3. Assim, sabemos que x é um número real menos os números 7/3 e 1, pois foram excluídos. Impus essas condição pois os denominadores não podem ser nulos. Agora vamos encontrar o valor real de x:

$(3x-1)(3x-7)=(3x-3)(3x-9)$ ⇒ produto notável: (u - v)(u - w) = u² - u(w + v) + vw.

$(3x)^2-3x(7+1)+(1)(7)=(3x)^2-3x(9+3)+(9)(3)$

$9x^2-3x(8)+7=(3x)^2-3x(12)+27$

$\diagdown\!\!\!\!\!9x^2-24x+7=\diagdown\!\!\!\!\!9x^2-36x+27$

$36x-24x=27-7$

$12x=20$

$x=\dfrac{20}{12}$    ⇒ simpl. por 4.

$x=\dfrac{5}{3}$

Como esse número é satisfatório em relação à condição imposta, x = 5/3 é verdadeiro.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.