Question

Equação diferencial.. Homogénea:
$(y^{2} - xy)dx + x^{2} dy = 0$
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Answer 1

Olá, bom dia.

Desejamos resolver a seguinte equação diferencial homogênea:

$(y^2-xy)\cdot dx + x^2\cdot dy=0$

Esta é uma equação diferencial separável. Divida ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$y^2-xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}=0$

Subtraia $y^2-xy$ em ambos os lados da igualdade

$x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}=xy-y^2$

Divida ambos os lados da igualdade por $x^2$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}-\dfrac{y^2}{x^2}$

Reescreva a potência: $\dfrac{y^2}{x^2}=\left(\dfrac{y}{x}\right)^2$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}-\left(\dfrac{y}{x}\right)^2$

Faça uma substituição $\dfrac{y}{x}=v$, em que $v=v(x)$ e multiplique ambos os lados da igualdade por $x$:

$y=x\cdot v$

Diferencie ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$(y)'=(x\cdot v)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função resultante do produto de duas funções deriváveis $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ é calculada pela regra do produto: $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada pela regra da cadeia: $(y)'=1\cdot y^{1-1}\cdot y'=y'$
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra do produto

$(y)'=(x)'\cdot v + x\cdot (v)'$

Aplique a regra da cadeia e da potência

$y'=v+ x\cdot v'$

Reescrevendo $y'=\dfrac{dy}{dx}$ e $v'=\dfrac{dv}{dx}$, substituímos estes dados na equação:

$v+x\cdot \dfrac{dv}{dx}=v-v^2$

Subtraia $v$ em ambos os lados da equação

$x\cdot \dfrac{dv}{dx}=-v^2$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$-\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{dx}{x}$

Integre ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int -\dfrac{dv}{v^2}=\int \dfrac{dx}{x}}$

Sabendo que $\displaystyle{\int -\dfrac{dv}{v^2}=\dfrac{1}{v}+C}$ e $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C}$, temos:

$\dfrac{1}{v}+C_1=\ln|x|+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $C_2-C_1=C_3$

$\dfrac{1}{v}=\ln|x|+C_3$

Considere $C_3=\ln(C)$ e aplique a propriedade de logaritmos: $\log_c(a)+\log_c(b)=\log_c(a\cdot b),~0<a,~b$ e $0<c\neq1$

$\dfrac{1}{v}=\ln|Cx|$

Isole $v$

$v=\dfrac{1}{\ln|Cx|}$

Substitua este resultado em $y=x\cdot v$

$y=\dfrac{x}{\ln|Cx|},~C\in\mathbb{R}$

Esta é a solução desta equação diferencial.