Question

Eplique-me como simplificou detalhadamente:

$\frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(1-x)^5(2-x)^7}\geq 0$

$\frac{(x+1)}{(1-x)(2-x)}\geq 0$

Answer 1

Bem, essa é bonita. Concorda comigo que, independente do valor de x teremos que $x^2\geq0$, certo? Pois bem, podemos reescrever os termos dessa fração desse modo:

$(x+1)^3=(x+1)^2.(x+1)\\ \\ (1-x)^5=(1-x)^4.(1-x)\\ \\ (2-x)^7=(2-x)^6.(2-x)$

E agora substituiremos esses produtos, rearranjando os fatores dos produtos:

$\frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(1-x)^5(2-x)^7}\geq0\Rightarrow \frac{(x+1)^2(x+2)^4}{(1-x)^4(2-x)^6}.\frac{(x+1)}{(1-x)(2-x)}\geq0$

Note que a primeira fração do produto acima será sempre positiva e o sinal de toda a expressão dependerá única e exclusivamente do sinal da segunda fração (aquela coisa, pos*pos = pos e pos*neg = neg). Portanto:

$\boxed{\boxed{\frac{(x+1)^3(x+2)^4}{(1-x)^5(2-x)^7}\geq0\Leftrightarrow \frac{(x+1)}{(1-x)(2-x)}\geq0}}$