Question

(Epcar 2017/2018) Os números x e y pertencem ao conjunto C = {17,20,23,26,...,2018} e são tais que $x > y$.
Sendo assim, pode-se concluir que $2017 \times2x + sy$, na divisão por 7 deixa resto:

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

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Answer 1

O resto, na divisão por sete, é 5.

Vamos calcular o resto de cada termo (2017, 2ˣ e 8^y) na divisão por 7.

A divisão de 2¹ por 7 deixa resto 2

A divisão de 2² por 7 deixa resto 4

A divisão de 2³ por 7 deixa resto 1

A divisão de 2⁴ por 7 deixa resto 2

A divisão de 2⁵ por 7 deixa resto 4

A divisão de 2⁶ por 7 deixa resto 1

Então, temos uma sequência periódica de restos (2, 4, 1, 2, 4, 1, ... )

Notamos que todos os números do conjunto acima (17, 20, 23, 26...) deixam resto 2 quando divididos por 3.

Então, o resto da divisão de 2ˣ por 7 é igual ao resto de 2² por 7, ou seja, 4.

2ˣ : 7 ⇒ resto 4

8ˣ quando dividido por 7 sempre deixa resto 1.

Assim, podemos escrever que: 2017.2ˣ + 8y = 2016.2ˣ  + 2ˣ + 8 ^y

Como 2016 é múltiplo de 7,  o resto da divisão de 2016.2ˣ  por 7 é zero.

Portanto, o resto da divisão de 2ˣ por 7 é igual a 4,  e o resto da divisão de 8^y por 7 é igual a 1.

Somando: 4 + 1 = 5