Question

(Epcar 2017/2018) Os números x e y pertencem ao conjunto C = {17,20,23,26,...,2018} e são tais que $x > y$.
Sendo assim, pode-se concluir que $2017 \times2x + sy$, na divisão por 7 deixa resto:

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

​

Answer 1

O resto é 5.

Vamos calcular o resto de cada termo (2017, 2ˣ e 8^y) na divisão por 7.

A divisão de 2¹ por 7 deixa resto 2

A divisão de 2² por 7 deixa resto 4

A divisão de 2³ por 7 deixa resto 1

A divisão de 2⁴ por 7 deixa resto 2

A divisão de 2⁵ por 7 deixa resto 4

A divisão de 2⁶ por 7 deixa resto 1

Então, temos uma sequência periódica de restos (2, 4, 1, 2, 4, 1, ... )

Notamos que todos os números do conjunto acima (17, 20, 23, 26...) deixam resto 2 quando divididos por 3.

Então, o resto da divisão de 2ˣ por 7 é igual ao resto de 2² por 7, ou seja, 4.

2ˣ : 7 ⇒ resto 4

8ˣ quando dividido por 7 sempre deixa resto 1.

Assim, podemos escrever que: 2017.2ˣ + 8y = 2016.2ˣ  + 2ˣ + 8^y

Como 2016 é múltiplo de 7,  o resto da divisão de 2016.2ˣ  por 7 é zero.

Portanto, o resto da divisão de 2ˣ por 7 é igual a 4, e o resto da divisão de 8^y por 7 é igual a 1.

Somando: 4 + 1 = 5

Answer 2

Resposta:

5

Explicação passo-a-passo:

Podemos resolver este exercício por congruência modular, um método muito mais fácil e mecânico de se resolver exercícios em que são pedidos os restos de uma divisão.

Recomendo você assistir a uma videoaula sobre o conteúdo, pois é uma matéria muito extensa. Porém, vale a pena você ser craque em congruência modular para tirar uma boa nota nas questões, principalmente nos concursos CN/EPCAR, que cobram MUITO essa matéria.

Vamos à resolução:

Em primeiro lugar, podemos dizer que x e y podem ser representados da forma 3a + 2, pois todos os elementos do conjunto C são números formados pela adição de um múltiplo de 3 com o número 2.

Ex:

17 = 3 x 5 + 2 ;

20 = 3 x 6 + 2 ;

2018 = 3 x 672 + 2

Logo, temos que x = 3a + 2 e y = 3b + 2

Como o problema pede o resto de uma potência de base de 2, por 7, vamos analisar os restos de potências de base 2:

2¹ ≡ 2 mod 7    

2² ≡ 4 mod 7

2³ ≡ 1 mod 7

2^4 ≡ 2 mod 7

2^5 ≡ 4 mod 7

2^6 ≡  1 mod 7

perceba que os restos seguem um padrão, que vai de 3 em 3, observe:

1. se o expoente tiver resto 1 na divisão por 3, o número deixará, na divisão por 7, resto 2
2. se o expoente tiver resto 2 na divisão por 3, o número deixará, na divisão por 7, resto 4
3. se o expoente tiver resto 0 na divisão por 3, o número deixará, na divisão por 7, resto 1

Dessa forma, basta sabermos o resto de 2^x na divisão por 7; mas como x é da forma 3a + 2, então x deixa resto 2 na divisão por 3. Logo, 2^x deixa resto 4 na divisão por 7

Agora, vamos analisar o resto de 8^y na divisão por 7

- as potências de 8 = 2³ na divisão por 7

Perceba que 8 deixa resto 1 na divisão por 7, pois 8 pode ser escrito como 2³ e já sabemos que: " se o expoente tiver resto 0 na divisão por 3, o número deixará, na divisão por 7, resto 1 "

Logo, qualquer potência de 8 deixará resto 1 na divisão por 7

Agora, vamos analisar o resto de 2017 na divisão por 7:

2017 deixa resto 1 na divisão por 7, pois 2017 = 288 x 7 + 1

Agora que já sabemos o resto de cada parcela do problema pedido, basta resolvermos a expressão:

1. 2017 deixa resto 1 na divisão por 7
2. 2^(x) deixa resto 4 na divisão por 7
3. 8^(y) deixa resto 1 na divisão por 7

Logo, temos:

2017 x 2^(x) + 8^(y) deixa resto N na divisão por 7

1 x 4 + 1 deixa resto N na divisão por 7

5 deixa resto N por 7

como 5 deixa resto 5 na divisão por 7, N = 5

Assim, o gabarito da questão é 5.