Question

Enuncie e prove que
$log_{c}( \frac{a}{b} ) = log_{c}(a) - log_{c}(b)$
​

Answer 1

O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logartimos tomados na mesma base.

Seja

$x=log_{c}{\frac{a}{b}} \\ {c}^{x}=\frac{a}{b}$

$y=log_{c}{a} \\{c}^{y}=a$

$z=log_{c}{b} \\{c}^{z}=b$

devemos provar que

$x=y-z$.

Demonstração:

De fato,

${c}^{x}=\frac{a}{b} \\ {c}^{x}=\frac{{c}^{y}}{{c}^{z}}$

${c}^{x}={c}^{y-z}$

bases iguais nos dá expoentes iguais portanto

$x=y-z$ c.q.d

Answer 2

basta utilizar a definição de logaritmo para concluir cada etapa da  demonstração.

faça

$k=log_{c}{\frac{a}{b}} \\{c}^{k}=\frac{a}{b}$

$l=log_{c}{a} \\ {c}^{l}=a$

$m=log_{c}{b} \\ {c}^{m}=b$

agora basta mostrar que

$k=l-m$