Question

Entre quais números inteiros consecutivos fica cada um dos números reais dados e identifique se o número é real racional ou real irracional.
a)
$\sqrt{30}$

b)
$\frac{18}{7}$

c)
$- 8.666666...$

d)
$\sqrt{50}$

e)
$\sqrt{10}$

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Answer 1

Para resolver a esta questão, devemos analisar se os números são racionais, identificando seus valores e entre quais números estão localizados na reta numérica, ou se são irracionais, identificando as raízes exatas mais próximas deles.

• Alternativa A (√30)

A raiz de 30 não é exata, e por esta razão se enquadra como real irracional (pois não pode ser transformada em fração, característica dos números racionais).

Este valor está entre as raízes de 25 e de 36:

$\sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{36}$

Logo:

$\boxed{5<\sqrt{30}<6}$

• Alternativa B (18/7)

Se realizarmos esta razão (divisão) entre 18 e 7, encontraremos a seguinte dízima periódica:

$2,571428571428...$

Perceba que o termo "571428" se repete:

$2,571428\: \: \: 571428 \: \: \: 571428...$

Essa "repetição" caracteriza o valor como dízima periódica, e essas dízimas são reais racionais (pois podem ser transformadas em frações).

Este valor (2,57...) está entre 2 e 3:

$\boxed{2<2,57...<3}$

• Alternativa C (-8,66...)

Este valor é real racional, pois é uma dízima periódica que pode ser transformada em fração pelo seguinte processo:

$x=-8,66...$

$10x=-86,66...$

Logo:

$10x-x=-86,66... - (-8,66...)$

$9x=-86,66...+8,66...$

$9x=-86+8$

$9x=-78$

$x=-\dfrac{78}{9}$

$\boxed{x=-\dfrac{26}{3}}$

Sabemos que -8,666 é maior que -9 e é menor que -7.

Logo:

$\boxed{-9<-8,66...<-7}$

• Alternativa D (√50)

Esta raiz não é exata, portanto, é real irracional.

Seu valor está entre as raízes de 49 e 64:

$\sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}$

Logo:

$\boxed{7<\sqrt{50}<8}$

• Alternativa E (√10)

Aqui, temos o mesmo caso da alternativa D, uma raiz real irracional.

Seu valor está entre as raízes de 9 e 16:

$\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$

Logo:

$\boxed{3<\sqrt{10}<4}$

• Resumo das respostas

A) Real irracional, está entre 5 e 6.

B) Real racional, está entre 2 e 3.

C) Real racional, está entre -9 e -7.

D) Real irracional, está entre 7 e 8.

E) Real irracional, está entre 3 e 4.

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