Question

Ensino superior calculo 4


x'' + 2x' + 2x = cos(2t)

Answer 1

$x''+2x'+2x=\cos(2t)$


Equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear e não-homogênea.


• Encontrando a solução da EDO homogênea associada:

$x''+2x'+2x=0$


Equação característica:

$\lambda^2+2\lambda+2=0$


Encontrando as raízes da equação característica:

$\lambda^2+2\lambda+2=0\\\\ \lambda^2+2\lambda+1+2=1\\\\ (\lambda+1)^2+2=1\\\\ (\lambda+1)^2=1-2\\\\ (\lambda+1)^2=-1\\\\ \lambda+1=\pm i\\\\ \lambda=-1\pm i$


As raízes da equação característica são complexos conjugados:

$\lambda=\alpha\pm \beta i$

com $\alpha=-1$ e $\beta=1.$


Base geradora da solução da EDO homogênea:

$\big\{e^{\alpha t}\cos(\beta t),\,e^{\alpha t}\,\mathrm{sen}(\beta t)\}\\\\ \big\{e^{-t}\cos t,\,e^{-t}\,\mathrm{sen\,}t\}$


Solução da EDO homogênea:

$x_h(t)=C_1\,e^{-t}\cos t+C_2\,e^{-t}\,\mathrm{sen\,}t$

___________

Solução particular da EDO não-homogênea:

$x_p(t)=A\cos 2t+B\,\mathrm{sen\,}2t$


Derivando em relação a $t,$

$x_p'=-2A\,\mathrm{sen\,} 2t+2B\cos 2t$


Derivando novamente em relação a $t,$

$x_p''=-4A\cos 2t-4B\,\mathrm{sen\,}2t$


Substituindo na EDO não-homogênea dada inicialmente, devemos ter

$x_p''+2x_p'+2x_p=\cos 2t\\\\\\ \begin{array}{ll} (-4A\cos 2t-4B\,\mathrm{sen\,}2t)+2(-2A\,\mathrm{sen\,} 2t+2B\cos 2t)\\\\+2(A\cos 2t+B\,\mathrm{sen\,}2t)=\cos 2t \end{array}\\\\\\ \begin{array}{ll} -4A\cos 2t-4B\,\mathrm{sen\,}2t-4A\,\mathrm{sen\,} 2t+4B\cos 2t\\\\+2A\cos 2t+2B\,\mathrm{sen\,}2t=\cos 2t \end{array}\\\\\\ (-4A+4B+2A)\cos 2t+(-4B-4A+2B)\,\mathrm{sen\,}2t=\cos 2t$

$(-2A+4B)\cos 2t+(-4A-2B)\,\mathrm{sen\,}2t=\cos 2t\\\\\\ \left\{ \begin{array}{rcl} -2A+4B&\!\!=\!\!&1\\\\ -4A-2B&\!\!=\!\!&0 \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema acima, enconramos

$A=-\,\dfrac{1}{10}~\text{ e }~B=\dfrac{1}{5}$


Logo, a solução particular é

$x_p(t)=-\,\dfrac{1}{10}\cos 2t+\dfrac{1}{5}\,\mathrm{sen\,}2t$

___________

Solução geral:

$x(t)=x_h(t)+x_p(t)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x(t)=C_1\,e^{-t}\cos t+C_2\,e^{-t}\,\mathrm{sen\,}t-\dfrac{1}{10}\cos 2t+\dfrac{1}{5}\,\mathrm{sen\,}2t \end{array}}$


com $C_1,\,C_2 \in\mathbb{R}.$


Bons estudos! :-)