Question

Enriqueça seus conhecimentos. Sabendo que x e y são números naturais, resolva a equação (xy - 7)² = x² + y² .

Answer 1

(xy-7)²=x²+y²

x²y²-14xy+49=x²+y²

x²y²-12xy-2xy+36+13=x²+y²

x²y²-12xy+36+13=x²+2xy+y²

(xy-6)²+13=(x+y)²

(x+y)²-(xy-6)²=13

(x+y+xy-6)(x+y-xy+6)=13

x+y+xy-6=13

+x+y-xy+6=1

2x+2y=14

2(x+y)=14

x+y=14/2

x+y=7

Equação diofantina linear.

(0,7)(1,6)(2,5)(4,3)

Temos quatro soluções possíveis

Answer 2

Resposta:

(0,7) (7,0) (3,4) (4,3)

Explicação passo-a-passo:

$(xy-7)^{2} =x^{2} +y^{2} \\(xy)^{2}-14(xy)+49=x^{2} +y^{2}\\ (xy)^{2}+49-12(xy)=x^{2}+y^{2}+2(xy)=(x+y)^{2}\\((xy)^{2}-12(xy)+36)+49=(x+y)^{2}+36\\(xy-6)^{2}-(x+y)^{2}=36-49\\ (xy-6+x+y)(xy-6-x-y)=-13\\(xy-6+x+y)(-xy+6+x+y)=13$

Temos o produto entre dois números naturais igual a 13. Como esse número é primo, temos que

ab = 13 <=> a = 1 e b = 13 ou a = 13 e b = 1

Assim,

xy - 6 + x + y = 1

-xy + 6 + x + y = 13

+_____________

2x + 2y = 14 => x + y = 7 <=> (0,7) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (7,0)

Quando substituímos os pares ordenados na equaçao original apenas (0,7)(7,0) (3,4) (4,3) satisfazem a igualdade.