Question

Engenheiro austríaco desenvolve sistema que usa água para armazenar energia (. ) O primeiro elemento básico do sistema é a hidroeletricidade de armazenamento bombeado, uma tecnologia já existente em países com grandes cadeias de montanhas. Isso é um ingrediente fundamental para o sistema funcionar, pois ele precisa de uma grande elevação de um entre dois diferentes reservatórios em relação ao nível do mar. Outro elemento essencial é uma grande quantidade de água. Quando há excedente de energia produzida, esse excedente é usado para bombear a água do reservatório mais baixo para o mais alto. Quando se necessita de mais energia, a água do reservatório mais alto é despejada nas turbinas e a energia é gerada. Disponível em:
Considere o sistema descrito na notícia: a noite, quando sobra energia, é feito um bombeamento de água de um lago de grandes dimensões para um reservatório à 80 m do nível do lago. Durante o dia, esta água é utilizada para gerar energia em uma turbina localizada 80 m abaixo do reservatório elevado. Considerando que a vazão de água é sempre 5000 litros/s (tanto na entrada do reservatório quanto na saída) e que os rendimentos da bomba e da turbina são 70%, qual a potência (em kW) necessária na bomba e a potência (em kW) recuperada na turbina.


Dados: O diâmetro da tubulação é sempre o mesmo ao longo do sistema (d = 0,5 m); g = 10 m/s0; γ = 9810 N/m0.
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Answer 1

Olá!

Vamos vamos tomar o ponto a montante(chamarei de 1) como o nível superior do reservatório. Este nível está parado e aberto à pressão atmosférica, então $c_1 = 0~m/s$ e $p_1 = 0~Pa$ (efetiva).

O ponto 2 a justante da turbina é considerado o nível superior, também suposto em repouso e utilizando a hipótese de pressão estática, resultando em $c_2=0$ e $p_2 = 0$.

Façamos para a turbina primeiro, aplicando a equação da energia.

$H_t=\dfrac{p_1-p_2}{\gamma_a}+\dfrac{c_1^2-c_2^2}{2g}+(z_1-z_2) - h_{perdas}$

Como não foi sequer mencionado o tamanho da tubulação, não podemos calcular as perdas hidráulicas, então vamos desprezá-las. A parcela de velocidade também é nula, pois ambas valem zero. A de pressão igualmente, pois estão abertas à atmosfera.

$H_t = z_1-z_2 = 80~mH_2O$

Calculamos a potência hidráulica(a potência que a água pode fornecer à turbina):

$P_h =\gamma QH_t \\\\P_h = (9810~N/m^3 )\cdot \left[5000~\ell/s\cdot |1 m^3/1000\ell |\right]\cdot (80~m)\\ \\ P_h = 3.924.000 W\\\\ \underline{P_h = 3.924 ~kW}$

A potência recuperada na turbina é a potência de eixo, pois a máquina não é perfeita. Isto é, descontamos as perdas da potência hidráulica por meio do rendimento:

$\eta = \dfrac{P_e}{P_h}\iff P_e = \eta P_h\\\\ P_e = 0,7\cdot 3.924\\ \\ \boxed{P_{e_T} =2746,8~kW }$

Veja: a água pode oferecer 3900 kW, mas a turbina só consegue transformar 2750 kW em potência de eixo, sendo o restante perdido(por atrito lateral, choque, no escoamento, por fuga interna em recirculação e etc).

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Para a bomba o raciocínio é análogo, só temos as contribuições devido ao nível, pois as velocidades e pressões são iguais, se desprezarmos as perdas. Resulta na mesma altura de 80 metros para a bomba e, consequentemente, a potência hidráulica(isto é, que a bomba deverá fornecer para o líquido) será a mesma: 3924 kW (SE a altura é a mesma e o restante é propriedade do fluido e do escoamento, então Ph realmente é igual).

O que muda é a potência de eixo necessária na bomba. Nessa máquina fornecemos uma potência de eixo e parte dela é perdida ao se converter em energia hidráulica. Então, após descontarmos as perdas da potência de eixo, deveremos ter a potência hidráulica.

$\eta=\dfrac{P_h}{P_e}\iff P_e=\dfrac{P_h}{\eta}\\\\ P_e=\dfrac{3.924}{0,7}\\ \\ \boxed{P_e=5.606~kW}$

*Obs 1: Veja que a energia recuperada pela turbina é bem inferior à exigida pela bomba, isto é, não conseguiríamos fazer esse sistema se realimentar eternamente(moto perpetuo), como esperamos pela segunda Lei da Termodinâmica.

**Obs 2: Se quiséssemos considerar as perdas, precisaríamos da rugosidade da tubulação(associada ao material que foi fabricada) e de seu comprimento, além de qualquer singularidade(perda de carga local) para computar adequadamente. As perdas distribuídas seriam calculadas pelo Diagrama de Moody, resultando num fator $f$ e, em seguida, aplicando a fórmula $h_p_D=f \dfrac{L}{D} \dfrac{c^2}{2g}$ e as localizadas pela fórmula $h_p =\dfrac{\kappa c^2}{2g}$ onde $\kappa$ é o coeficiente de perda de carga e c é a velocidade do escoamento.