(Enem (libras) 2017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade á outra seja necessária a construção de um túnel
Soluções para a tarefa
Completando a questão:
"com a altura e largura iguais a 10m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.
A equação que descreve a parábola é
A) Y = -2/5x² + 10
B) Y = 2/5x² + 10
C) Y = -x² + 10
D) Y= x² + 25
E) Y = -x² + 25
Ao analisarmos a parábola vemos que ela corresponde a uma função quadrática Y = ax² + bx + c
Lembrando das regrinhas:
O coeficiente “a” depende da parábola, se a parábola for de concavidade para cima a > 0, se a parábola for de concavidade para baixo a < 0.
Portanto, no desenho da questão a parábola está com a concavidade para baixo, sendo assim, a < 0, e consequentemente, eliminamos a alternativa B e D, pq o coeficiente “a” dessas alternativas estão positivos.
Sabemos que pela regra, o coeficiente “c” é onde a parábola corta o eixo Y, logo, onde a parábola corta o eixo Y é 10, então c = 10. Com essa informação, eliminamos a alternativa E.
Para descobrir o coeficiente “b” precisamos olhar para o coeficiente c. A regrinha nos diz que o coeficiente b depende do coeficiente c, se o coeficiente c está cortando um ponto em que a parábola está decrescendo, então b<0, se o coeficiente c está cortando um ponto em que a parábola está crescente, então b>0, se o coeficiente c estiver no ponto em que está cortando a parábola ao meio então b = 0.
b>0 se a parábola no coef c for crescente
b<0 se a parábola no coef c for descrescente
b=0 se o coef c cortar a parábola ao meio
No desenho, concluímos que b=0.
Então a < 0, b=0 e c = 10
Descobrindo o coef “a”:
A fórmula da função quadrática é
Y = ax² + bx + c
Y = ax² + 0.x + 10
Y= ax² + 10
Vamos escolher, agora, qualquer ponto da parábola. Temos (-5,0) (0,10) e (5,0). Vamos usar o (5,0)
Então, para (5,0) vamos substituir a equação acima:
Y= ax² + 10
0 = a.5² + 10
0 = 25.a + 10
-10 = 25.a
-10/25 = a (vamos simplificar e dividir a fração por 5)
-2/5 = a
Portanto,
Y = ax² + c
Y = -2/5 + 10
Resposta: letra A.
Abraços.