Question

(ENEM) (Enem 2a aplicação 2010) Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto emembalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cadauma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens aindacilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricantedeverá pagar por esse rótulo é dea) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.d) R$ 0,80, pois haverá um aumento de1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.

Answer 1

Letra B:
sejam $r_{1}$ = 2cm e $h_{1}$ = 13,5cm, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro cujo rótulo custa R$0,60
Se $V_{1}$ e $Al_{1}$ denotam a capacidade e a área do rótulo, então: 
$V _{1}= \pi . 2^{2}.13,5 = 54 \pi cm^{3} \\ Al_{1}=2. \pi .2.13,5 = 54 \pi cm^{2}$

Sejam $r_{2}$ e $h_{2}$ o raio da base e altura da nova embalagem. Como $h_{2}=2. r_{2}$ e as capacidades da embalagem são iguais, temos que:
$V_{1}=V_{2}\to 54\pi= \pi r_{2^{2}} . 2 r_{2} = \sqrt[3]{27} = 3$

Além disso, a área lateral da nova embalagem é $Al_{2} = 2.\pi.3.6 = 36\pi cm^{2}$

Supondo que o custo da embalagem seja diretamente proporcional à área lateral da mesma, obtemos:
$c_{1}=k. Al_{2} = \frac{0,6}{54\pi} . 36\pi$ = R$0,40 e [text]\frac{c_{2}}{c_{1}} = \frac{36\pi}{54\pi} = \frac{2}{3}[/tex], ou seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de R$0,40, pois haverá uma redução de $c_{1} - c_{2} = c_{1} - \frac{2}{3} c_{1} = \frac{1}{3}c_{1}$ na superfície da embalagem coberta pelo rótulo