Question

ENEM 2008 adaptada: Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos (não são as perguntas ainda):

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

(Imagem) "Segue anexo".

Considerando essas informações, julgue os item abaixo:

1) A área da "Figura n" (An) é dada por A¹ * (1/4)^n-1

( ) Certo ( ) Errado

2) Se A¹ = 6 cm², então a soma da área das infinitas figuras, seguindo os passos descritos pelo texto, é igual a:

( ) 8 cm²
( ) 9 cm²
( ) 24 cm²
( ) 18 cm²​​​

Answer 1

A primeira afirmativa está errada e, a soma da área das infinitas figuras será igual a 24 cm².

Explicação:

1) A afirmativa está errada.

A cada iteração, cada triângulo preto é substituído por 3 triângulos pretos menores e um triângulo branco. Logo, a parte preta representa 3/4 da área original. Portanto, a equação correta seria

$A_n=A^1 \,.\, \left( \frac{3}{4} \right)^{n-1}$

2) A sequência das áreas da figuras equivale a uma progressão geométrica (P.G.) em que o primeiro termo (a1) é igual a A¹ e, a razão (q) é igual a 3/4. Logo, a soma de seus termos (S) será dada por:

$a_1=A^1=6\;cm^2\\\\q=\frac{3}{4}\\\\\\S=\frac{a_1}{1-q}\\\\S=\frac{6}{1-\frac{3}{4}}\\\\S=\frac{6}{\frac{4}{4}-\frac{3}{4}}\\\\S=\frac{6}{\frac{1}{4}}\\\\S=6\,.\,4\\\\S=24\;cm^2$