Question

Encontre uma transformação linear tal que
T(1, 0) = (-2, 3)
T(1, -1) = (1, 2)

Answer 1

Queremos encontrar $T(x,y)$ e temos $T(1,0),~T(1,-1)$. A ideia aqui é encontrar uma combinação linear de (1,0) e (1,-1) que gere o vetor (x,y). Isto é, encontrar $a,~b$ tais que

$a(1,0)+b(1,-1)=(a+b,-b)=(x,y)$

Logo, precisamos resolver o sistema

$\begin{cases}a+b=x\\-b=y\end{cases}$

Achando b na segunda equação:

$-b=y~\leftrightarrow~\boxed{\boxed{b=-y}}$

Achando a:

$a+b=x\\\\a-y=x\\\\\boxed{\boxed{a=x+y}}$

Então:

$(x+y)(1,0)-y(1,-1)=(x,y)$

Daí, como T é linear:

$T(x,y)=T[(x+y)(1,0)-y(1,-1)]\\\\T(x,y)=(x+y)T(1,0)-yT(1,-1)\\\\T(x,y)=(x+y)(-2,3)-y(1,2)\\\\T(x,y)=(-2x-2y,~3x+3y)+(-y,-2y)\\\\T(x,y)=(-2x-2y-y,~3x+3y-2y)\\\\\boxed{\boxed{T(x,y)=(-2x-3y,~3x+y)}}$