Question

Encontre uma solução em série de potências para a equação diferencial y′′ − y = 0 em torno do ponto x0 = 0.

Answer 1

Para fazer este trabalho de uma forma mais simples, devemos lembrar que a solução geral de qualquer equação diferencial é dada por:

$\sf y= c_1 y_1(x)_1+ c_2 y_2(x)$

Onde:

c₁ e c₂ são constantes

y₁(x) e y₂(x) são soluções independentes da equação diferencial

Quando estamos procurando soluções com séries de potências, porém, queremos que elas tenham a seguinte forma:

$\displaystyle\sf y =\sum^{\infty}_{n=0} c_n (x-x _o)^n$

Onde:

cn n = 0,1,2,3... são constantes

xo é o que chamamos de ponto ordinário

Para o nosso problema, temos que xo = 0, pois as soluçõe da nossa equação devem ter a seguinte forma:

$\displaystyle\sf y =\sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n$

O objetivo deste método é encontrar a solução da equação diferencial, mas usando séries de potências ou principalmente chamadas de séries de Maclaurin. Vamos encontrar a primeira e a segunda derivada de nossa série para encontrar uma representação correta das variáveis que temos em nossa EDO.

$\displaystyle\sf y' =\dfrac{d}{dx}\sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n$

Aqui podemos nos perguntar se é possível derivar uma série de potências e como resposta obteremos que sim, o que podemos fazer para derivar a série é colocar a derivada dentro da soma, então fazendo isso obtemos:

$\displaystyle\sf y' =\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{d}{dx}c_nx^n \\ \\ \\ \displaystyle\sf y' =\sum^{\infty}_{n=1}nc_n x^{n - 1}$

Derivando este resultado e assim obtemos a segunda derivada:

$\displaystyle\sf y''=\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{d}{dx} n c_nx^n \\ \\ \\ \displaystyle\sf y'' =\sum^{\infty}_{n=2}n (n-1)c_n x^{n - 2}$

Vamos substituir o valor de cada variável por sua respectiva série de Maclaurin em nossa equação diferencial.

$\displaystyle\sf \sum^{\infty}_{n=2}n (n-1)c_n x^{n - 2} - \sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n=0$

O que vamos tentar fazer é juntar os dois somatórios em um para igualar o expoente cn a 0. Esses somatórios não podem ser unidos pois não partem do mesmo índice, para poder juntar os dois somatórios vamos tentar igualar os dois índices, para igualar os dois índices podemos aplicar a seguinte regra:

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sf \sum^{\infty}_{n=k} f(n)= \sum^{\infty}_{n=0} f(n+k)}}$

Aplicando esta propriedade à segunda soma, obtemos:

$\displaystyle\sf \sum^{\infty}_{n=0}(n+2) (n+1)c_{n+2} x^{n } - \sum^{\infty}_{n=0} c_n x^n=0\\\\\\ \displaystyle\sf \sum^{\infty}_{n=0}\left[(n+2) (n+1)c_{n+2}-c_n\right] x^{n } =0$

Como temos apenas uma soma, definiremos o coeficiente geral igual a 0.

$\sf (n+2) (n+1)c_{n+2}-c_n =0\\\\\\ \sf c_{n+2} =\dfrac{c_n}{(n+2)(n+1)}$

O resultado que obtivemos é conhecido como relação de recorrência, esta relação nos ajudará mais tarde, pois graças a ela podemos obter a solução geral de nossa equação diferencial agora enquanto vamos fazer os primeiros 4 termos:

$\sf c_2=\dfrac{c_0}{2}=\dfrac{c_0}{2!}\qquad c_3=\dfrac{c_1}{3\cdot2}=\dfrac{c_1}{3!} \\\\ \sf c_4=\dfrac{c_0}{4\cdot3\cdot2}=\dfrac{c_0}{4!}\qquad c_5=\dfrac{c_1}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\dfrac{c_1}{5!}$

Agora vamos obter a solução da nossa equação diferencial, a solução estará presente como a seguinte soma infinita:

$\displaystyle\sf y= \sum^{\infty }_{n=0} c_n x^n\\\\\\\sf y=c_0 + c_1 x+ c_2x^2+c_3x^3+ c_4 x^4+ c_5x^5+\dots$

Aplicamos nossa relação de recorrência com alguns dos valores desta série:

$\sf y=c_0 + c_1 x+ \dfrac{c_0}{2!} x^2+\dfrac{c_1}{3!}x^3+ \dfrac{c_0}{4!} x^4+ \dfrac{c_1}{5!}x^5+\dots\\\\\\ \sf y= \left(c_0+\dfrac{c_0}{2!} x^2+\dfrac{c_0}{4!} x^4 +\dots\right)+ \left( c_1 x+\dfrac{c_1}{3!}x^3+\dfrac{c_1}{5!}x^5+\dots\right)\\\\\\ \sf y= c_0\left(1+\dfrac{1}{2!} x^2+\dfrac{1}{4!} x^4 +\dots\right)+c_1 \left( x+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+\dots\right)\\\\\\ \boxed{\sf y=c_0\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{x^n}{n!}+c_1 \sum^{\infty} _{n=0}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta!!}$