Question

Encontre uma lei de formação para a sequência

     (aₙ) = (0, 2, 6, 8, 12, 14, ...)          n ∈ ℕ*

e expresse-a em termos de uma única sentença em função de n.

Answer 1

Olá Lukyo.


Encontre a lei de formação para a sequência:

$\mathsf{(a_n)=(0,2,6,8,12,14,...)\qquad\qquad n\in\mathbb{N\*}}$

____________________


Note que podemos reescreve-la do seguinte modo:

$\mathsf{a_1=0}\\\\\mathsf{a_2=a_1+(3-1)}\\\\\mathsf{a_3=a_2+(3+1)}\\\\\mathsf{a_4=a_3+(3-1)}\\\\\mathsf{...}\\\\\mathsf{a_n=a_{n-1}+[3-(-1)^{n}]}}$


Então podemos escrever $\mathsf{a_n}$ recursivamente da seguinte forma:

$\mathsf{a_{n+1}-a_{n}=3-(-1)^{n+1}}$

Aplique o somatório de 1 até n em ambos os lados.

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_{k})=\sum_{k=1}^n (3-(-1)^k)}$

Trabalhado com o lado esquerdo.

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_{k})=\sum_{k=1}^n a_{k+1}-\sum_{k=1}^n a_{k}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_{k+1}-a_{k})=a_{n+1}+\sum_{k=2}^{n}a_k-a_1-\sum_{k=2}^n a_k}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}}$


Desenvolvendo agora o lado direito.


$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (3-(-1)^{k+1})=\sum_{k=1}^n 3-\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (3-(-1)^{k+1})=3n-\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}}$


Note que o somatório do lado direito só pode ser 1 ou 0 dependendo da paridade de n. Se n é ímpar, então o resultado do somatório será igual a 1, se n é par, então o resultado do somatório será 0.

Então podemos escreve-lo do seguinte modo:

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}=|cos[(n+1)\cdot\dfrac{\pi}{2}]|}$

Subtituindo em nossa igualdade.

$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n (3-(-1)^{k+1})=3n-|cos[(n+1)\cdot\dfrac{\pi}{2}]|}}$


Portanto, a lei de formação de $\mathsf{a_n}$ é:


$\mathsf{a_{n+1}=3n-|cos((n+1)\cdot\dfrac{\pi}{2})]|}$


Mas como n é um inteiro positivo, devemos fazer um deslocamento no argumento para começar em $\mathsf{a_1}$


$\mathsf{a_n=3(n-1)-|cos(n\cdot\dfrac{\pi}{2})|}$



Dúvidas ? comente.

Answer 2

Olá Lukyo!

Percebemos nessa sequência que seu crescimento é determinado por uma soma periódica.

0+2=2
2+4=6
6+2=8
8+4=12
12+2=14

Percebe-se que para chegar ao próximo termo da sequência, é somado de forma alternada 2 e 4 unidades.

Com o passar da sequência, a soma possui um crescimento geral de 3, pois para avançar 2 termos é somado 6 unidades.

Veja as semelhanças com a lei de formação

An = 3(n-1)

(0,3,6,9,12,15...)

A única mudança que devemos aplicar nessa sequência é a retirada de uma unidade de cada casa par, e isso pode ser feito com a função (-1)^n

Perceba....

(0,3,6,9,12,15...) - (0,2,6,8,12,14...) = (0,1,0,1,0,1..)

Se subtraírmos termo a termo 2 sequências, suas funções gerais também são subtraídas.

A primeira já sabemos: 3(n-1)
A segunda é a que queremos saber...
Basta achar a função geral da última

f(n) = (0,1,0,1,0,1...)
2f(n) = (0,2,0,2,0,2...)
2f(n) - 1=(-1,1,-1,1,-1,1...)
2f(n) -1 = (-1)^n
2f(n)=(-1)^n +1

$f(n)=\frac{(-1)^n+1}{2}$

Assim...

$3(n-1)-a_n=\frac{(-1)^n+1}{2}\\\\a_n=3n-3-\frac{(-1)^n}{2}-\frac{1}{2} \\\\\boxed{a_n=3n-\frac{7+(-1)^{n}}{2}}$

Dúvidas? Comente.