Question

Encontre uma função f / [0, 1] -> [0, 1] não-decrescente, contínua, com f(0) = 0

f(1) = 1 , satisfazendo a seguinte propriedade

f ' (x) = 0 para todo x (pertencente a) [0, 1] tal que a derivada f ' (x) exista.

Answer 1

Com o estudo sobre continuidade temos como resposta $f(x)=\begin{cases}1\:\:se\:\in Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ 0\:se\:\notin Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \end{cases}$

Continuidade

Uma função f: X → IR, definida em um conjunto X ⊂ IR, diz-se contínua no ponto a ∈ X quando, $\epsilon$ > 0 dada arbitrariamente, pode-se obter $\delta > 0$ tal que x ∈ X e |x - a| < $\delta$ implique |f(x) - f(a)| < $\epsilon$.

Seja f uma função definida no intervalo [0, 1]

• $f(x)=\begin{cases}1\:\:se\:\in Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ 0\:se\:\notin Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \end{cases}$

Temos que f não é integrável segundo Riemann em [0, 1], pois para uma partição qualquer de [0, 1] temos

• $\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\right)\Delta x_i=\begin{cases}\sum \:_{i=1}^n\Delta \:x_i=1\:se\:c_i\:\in \:Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \:0\:se\:c_i\notin \:Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ \:\end{cases}$

e nesse caso teríamos $lim_{max\Delta x_i- > 0}\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\Delta x_i\right)=0$, o que confirma que a função não é integrável em [0,1]

Saiba mais sobre continuidade:https://brainly.com.br/tarefa/19039522

#SPJ1