Question

Encontre uma fórmula(fração) que represente o n-ésimo termo

da sequência de somas parciais para determinar se a série ∑ n=1 tendendo ao infinito (1/n - 1/n+1)

converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.



Me ajudem por favor!!!

Answer 1

Explicação passo a passo:

Primeiro vamos reescrever a soma como

                                  $\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}$

Sabemos que     $n^2 \leq n^2 + n \Rightarrow \frac{1}{n^2+n} \leq \frac{1}{n^2}$,

Como a série $\sum\frac{1}{n^2}$ converge temos que  $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}$ também converge.

Agora vamos analisar as somas parciais:

                  $\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+\dots-\frac{1}{k} + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Note que podemos fazer uma soma telescópica e cortar os termos sobrando

                                     $\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1}$

Agora utilizando a definição sabemos que

                           $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

E como

$\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1} \Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}1 - \frac{1}{k+1} = 1$

Temos finalmente que

                                          $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1$