Question

Encontre uma equação da reta tangende à curva no ponto dado. (a) y = 4x − 3X^2 , (2, −4)

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = 4x - 3x {}^{2}$

• A questão nos pede para determinar a reta tangente a f(x) = 4x -3x², normalmente montaríamos o gráfico dessa função, mas não será necessário, a questão ainda fala que essa reta tangencia no ponto (2,-4), um dado crucial para essa questão.

Se você bem lembra, uma reta é expressa dessa maneira:

$\ast \: \sf y = mx + n$

• De acordo com a definição algébrica de derivada sabemos que ela representa a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular, portanto se acharmos a derivada da função f(x) e substituir o valor da abscissa do ponto de tangencia, encontraremos "m".

Derivando a função:

$\sf f(x) =4x - 3 {x}^{2} \\ \sf f'(x) = \underbrace{4x - 3 {x}^{2} }_{(a.x {}^{n}) = (n.a.x {}^{n - 1} ) } \\ \sf f'(x) = 1.4x {}^{1 - 1} + 2.3.x {}^{2 - 1} \\ \sf f'(x) = 4x {}^{0} + 6x {}^{1} \\ \boxed{ \sf f'(x) = 4 + 6x}$

Substituindo o valor da abscissa (2):

$\sf f'(x) = m \\ \sf m = f'(2) \\ \sf m = 4 + 6x \\ \sf m = 4 + 6.2 \\ \sf m = 4 + 12 \\ \sf m = 16$

Para finalizar vamos substituir o valor de "m" e os valores da coordenada do ponto de tangencia, na equação fundamental da reta.

$\sf y - y_0 = m.( x - x_0) \\ \sf y - ( - 4) = 16.(x - 2) \\ \sf y + 4= 16x - 32 \\ \sf y = 16x - 32 - 4\\ \orange{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{\sf y = 16 x- 36}}}}}}$

Espero ter ajudado

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