Question

Encontre uma definição recursiva sobre N para as seguintes operações:

1) Multiplicação
2) Quadrado (n²)

Answer 1

1) Multiplicação:

Para essa operação, precisamos de pelo menos duas variáveis. Vamos tratar do caso da multiplicação entre dois números naturais.


Podemos definir assim a função multiplicação assim:

$\begin{array}{cccc} \mathsf{f:}&\mathbb{N}^2&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{N}\\ &\mathsf{(x,\,y)}&\mapsto &\mathsf{x\cdot y} \end{array}$


sendo a lei recursiva que define $\mathsf{f}$ a seguinte:

$\mathsf{f(x,\,y)=x\cdot y:=} \left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{0,}&\textsf{ se }\mathsf{x=0~ou~y=0}\\\\ \mathsf{f(x-1,\,y-1)+x+y-1,}&\textsf{ se }\mathsf{x>0~e~y>0} \end{array} \right.$


Observe que a definição acima é coerente com a multiplicação usual entre dois naturais que conhecemos, pois para $\mathsf{x>0~e~y>0}$ temos de fato

$\mathsf{f(x-1,\,y-1)+x+y-1}\\\\ =\mathsf{(x-1)(y-1)+x+y-1}\\\\ =\mathsf{x\cdot y-x-y+1+x+y-1}\\\\ =\mathsf{x\cdot y}\\\\ =\mathsf{f(x,\,y)\qquad\quad\checkmark}$

__________


2) Quadrado:

Podemos enxergar o quadrado como um caso particular da multiplicação, onde os dois fatores são iguais.


Usando o mesmo raciocínio para a alínea anterior, definimos a função quadrado como:

$\begin{array}{cccc} \mathsf{g:}&\mathbb{N}&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{N}\\ &\mathsf{x}&\mapsto &\mathsf{x^2} \end{array}$


sendo a lei recursiva que define $\mathsf{g}$ a seguinte:

$\mathsf{g(x)=x^2:=} \left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{0,}&\textsf{ se }\mathsf{x=0}\\\\ \mathsf{g(x-1)+x+x-1,}&\textsf{ se }\mathsf{x>0} \end{array} \right.$


De forma análoga à alínea anterior, pode-se verificar que a definição acima é coerente com o quadrado usual de um número natural que conhecemos.


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Bons estudos! :-)


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