Question

Encontre um vetor unitário ortogonal simultaneamente a u= (1,0,1) e v= (0,1,1).

Answer 1

O modo mais simples para resolver a questão é fazer o produto externo entre os dois vetores, uma vez que esse vetor será ortogonal a ambos. Assim, temos:

$\vec{u}\times\vec{v} = (1,0,1)\times(0,1,1) = \begin{vmatrix}\hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix} = (0-1,0-1,1-0) = (-1,-1,1).$

Como pretendemos um vetor ortogonal, basta agora dividir o produto externo pela respetiva norma:

$\hat{n}=\dfrac{\vec{u}\times\vec{v}}{\Vert\vec{u}\times\vec{v}\Vert} = \dfrac{(-1,-1,1)}{\Vert(-1,-1,1)\Vert} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1).$

Como é óbvio, o vetor $\hat{m}$, simétrico a \hat{n} relativamente à origem, também é uma resposta válida:

$\hat{m} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1).$