Question

Encontre todos os valores reais de m para os quais a equação 3x²- 2x +m = 0 apresente uma raiz sendo o dobro da outra.

Answer 1

Suponha que o conjunto solução da equação seja {a,2a} (uma raiz sendo o dobro da outra.

 

 

Agora calculemos a soma S das raizes e o produto P (iremos utilizar na sequencia)

 

 

S = a + 2a 

S = 3a

 

 

P = a . 2a

P = 2a^2

 

 

Uma equação que resulta nas soluções {a, 2a} pode ser escrita como:

 

 

$<var>x^2-3ax+2a^2=0</var>$ 

 

 

A equação proposta pode ser modificada dividindo-se convenientemente todos os seus termos por 3 (para obter o coeficiente a=1) ficando assim:

 

 

$<var>x^2 -\frac {2}{3}x+\frac{m}{3}=0</var>$ 

 

 

Comparando-se as duas equações percebemos que:

 

 

2a^2=$<var>3a=\frac{2}{3} \Rightarrow a=\frac{2}{9}</var>$ 

 

 

e que

 

 

\frac {m}{3}=$<var>\frac{m}{3}=2a^2 \Rightarrow \frac{m}{3}=2 \cdot (\frac{2}{9})^2 \Rightarrow m=\frac{24}{81}</var>$