Question

encontre todos os ponto do gráfico da função f(x)= 2senx +sen²x nos quais a reta tangente é horinzontal

Answer 1

Uma reta é horizontal se m=0, sendo m igual à inclinação da reta.
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Queremos TODOS os pontos do gráfico da função f(x)=2sen(x)+sen^{2}(x)[/tex], onde a reta tangente é horizontal.
Sendo a derivada de uma função igual a inclinação da reta tangente à ela no ponto (x,y), então, iremos derivar a função f(x).
$f'(x)=\frac{d(2sen(x)+sen^{2}(x))}{dx}$
$f'(x)=\frac{d(2sen(x)}{dx}+\frac{sen^{2}(x)}{dx}$
$f'(x)=2\frac{d(sen(x))}{dx}+\frac{sen^{2}(x)}{dx}$
$f'(x)=2cos(x)+2(sen^{2}(x))(cos(x))$, Pela derivada da função seno e pela regra da cadeia.
$f'(x)=2cos(x)(1+sen^{2})$
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Queremos onde a derivada é igual a 0, logo, fazendo f'(x)=0.
$0=2cos(x)(1+sen^{2}x)$
Logo, ou $cos(x)=0$ ou $sen^{2}x=-1$
Como um número elevado ao quadrado NUNCA é negativo, então queremos os pontos onde
$cos(x)=0$
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Os pontos onde a derivada é igual a zero são onde $x=\frac{k*pi}{2}$,
pois nesses pontos cos(x)=0, Logo,
Temos reta tangente à curva horizontal nos pontos onde $x=\frac{k*pi}{2}$ sendo k um número natural.