Question

Encontre os valores máximos e mínimos de:
f(x) = 1/x + ln(x), 1/2 ≤ x ≤ 4

Answer 1

Dado um intervalo a se encontrar máximos e mínimos locais levamos em consideração 2 coisas

1. Pontos Críticos
2. Pontos de Contorno

Pontos críticos são pontos em que existe uma cota inferior ou superior ao entorno do ponto em que f'(x) = 0, ou de comportamento assintótico ou indeterminado quando f'(x) não existe.

Como estamos analisando num intervalo, as derivadas no contorno do domínio podem não ser 0, mas ainda podem ser máximos/mínimos locais.

Vamos analisar pontos críticos, resolvendo a equação

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} = 0$

$\dfrac{1}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) = 0$

$1-\dfrac{1}{x} = 0 \implies x = 1$

Assim, temos um ponto crítico em x = 1, de modo que f(1) = 1.

Perceba que indeterminações para f'(x) só ocorrem quando x = 0, mas zero não pertence ao nosso intervalo de análise.

Agora, vejamos os valores de f no contorno do intervalo,

$f(0.5) = 2+\ln(0.5) \approx 1.31$

$f(4) = 0.25+\ln(4) \approx 1.64$

Por fim, obtemos que dois destes pontos são extremos da função f, um máximo, que deve ser quando x =4 e um mínimo, quando x = 1.

$\displaystyle \max f(x) = f(4) \approx 1.64$

$\displaystyle \min f(x) = f(1) = 1$