Question

Encontre os valores de x que satisfazem log x + log(x − 5) = log36.

Answer 1

Olá

Devemos encontrar os possíveis valores de $\mathtt{x}$

Como temos um logaritmo com argumento que representa uma subtração e o argumento não pode ser igual a zero, podemos logo afirmar que $\boxed{\mathtt{x>5}}$

Assim, como ambos os logaritmos tem a mesma base, simplificamos um deles

Isso é possível apenas que ambos sejam uma adição ou subtração

Como temos uma adição, temos uma multiplicação de argumentos

$\mathtt{\log[(x(x-5)]=\log 36}$

Multiplique os valores, aplicando a distributiva

$\mathtt{\log(x^2-5x)=\log 36}$

Iguale os argumentos, vendo que ambos tomam a mesma base

$\mathtt{x^2-5x=36}$

Mude a posição do termo independente, alterando seu sinal

$\mathtt{x^2-5x-36=0}$

Substitua o valor do coeficientes na fórmula de Bháskara

$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt[2]{(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-36)}}{2\cdot 1}$

Simplifique as multiplicaçõed

$x=\dfrac{5\pm\sqrt[2]{169}}{2}$

Simplifique o radical

$x=\dfrac{5\pm 13}{2}$

Separe as raízes

$x=\dfrac{5+13}{2}~~~~~~ x=\dfrac{5-13}{2}$

Simplifique as operações

$x=\dfrac{18}{2}~~~~~~ x = \dfrac{-8}{2}$

Simplifique as frações

$x=9~~~~~~ x = -4}$

Logo, respeitando aquilo que afirmamos no início, temos que

$\mathsf{x=9}$

Substituindo para comprovar, temos

$\log 9 + \log 4 = \log 36$

Da mesma maneira de antes, reescreva os logaritmos somados como uma multiplicação de argumentos

$\log 36 = \log 36~~\checkmark$