Question

Encontre os valores de m de forma que a função y = x^m seja solução da equação diferencial dada:

a) xy'' + 2y' = 0
b) x²'' – 7xy' + 15y = 0

Answer 1

Resposta:

y=x^(m)

y'=m*x^(m-1)

y''=m*(m-1)*x^(m-2)

a)  xy'' + 2y' = 0

x*m*(m-1)*x^(m-2) +2*m*x^(m-1)=0

m*(m-1)*x^(m-1) +2*m*x^(m-1)=0

m*(m-1) +2*m=0

m²-m+2m=0

m²+m=0

m*(m+1)=0

m=0   ou m=-1

b)

Se for b) x²y'' – 7xy' + 15y = 0

x²*m*(m-1)*x^(m-2) – 7x*m*x^(m-1) + 15*x^(m) = 0

x²*m*(m-1)*x^(-2) – 7x*m*x^(-1) + 15 = 0

m*(m-1) – 7*m + 15 = 0

m²-m-7m+15=0

m²-8m+15=0

m'=[8+√(64-60)]/2=(8+2)/2=5

m''=[8-√(64-60)]/2=(8-2)/2=3

m=5  ou m=3

Answer 2

Equações Diferencias de Segunda Ordem

Os valores de m que satisfazem as equações diferenciais são:

a) $m_1=0 \ ou \ m_2=-1$

b) $m_1=3 \ ou \ m_2=5$

Derivação

Para responder a esta questão vamos utilizar as derivadas primeira e segunda para substituir na equação diferencial.

Para que a função $y=x^m$equação diferencial de segunda ordem vamos determinar as suas derivadas e em seguida efetuar a substituição na EDO.

$y=x^m\\\\y'=mx^{m-1}\\\\y''=m(m-1)x^{m-2}$

a) Substituindo as derivadas na equação diferencial e desenvolvendo obtemos:

$xy''+2y'=0$.

$x\cdot (m^2-m) x^{m-2}+2\cdot mx^{m-1}=0\\\\(m^2+m)x^{m-1}=0\\\\m(m+1)=0\Rightarrow m_1=0 \ ou \ m_2=-1$

b) Substituindo as derivadas na equação diferencial e desenvolvendo obtemos:

$x^2y''-7xy'+15y=0\\\\x^2(m^2-m)x^{m-2}-7xmx^{m-1}+15x^m=0\\\\(m^2-m-7m+15)x^m=0\\\\m^2-8m+15=0\Rightarrow m_1=3 \ ou \ m_2=5$.

Para saber mais sobre equações diferenciais acesse: https://brainly.com.br/tarefa/49386951

https://brainly.com.br/tarefa/19308515