Question

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Answer 1

Começaremos verificando algumas propriedades dos numeros imaginários:

$i^0 = 1$, pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.

$i^1 = i$, pois qualquer número a primeira é ele mesmo.

$i^2 = -1$, Isto é o que diferencia os números imaginários dos reais (um número ao quadrado dar negativo)

$i^3 = -i$, pois $i^3 = i^2.i^1 = -1.i = -i$

$i^4 = 1$, pois $i^4 = i^2.i^2 = 1.1 = 1$

$i^5 = i$, pois $i^5 = i^4.i^1 = 1.i = i$

$i^6 = -1$, pois $i^6 = i^4.i^2 = 1.(-1) = -1$

$i^7 = -i$, pois $i^7 = i^4.i^3 = 1.(-i)=-i$

E assim se repete a cada 4 termos.

Assim, basta encontrar o multiplo de 4 do expoente e o resto nos dirá o valor do i, por exemplo:

$\frac{2007}{4} = 501$ e resta 3, assim teremos que:

$i^{2007} = i^{4.501+3} = i^{4.501}.i^3=  i^{4^{501}}.i^3 = 1^{502}.i^3 = i^3 = -i$

Faremos o mesmo para os demais complexos:

$i^{2009} = i^{4.502+1} = i^{4.502}.i^1=  i^{4^{502}}.i^1 = 1^{502}.i^1 = i^1 = i$

$i^{2006} = i^{4.501+2} = i^{4.501}.i^2=  i^{4^{501}}.i^2 = 1^{501}.i^2 = i^2 = -1$

$i^{2008} = i^{4.502} = i^{4^{502}} = 1^{502} = 1$

Respondendo agora a questão:

a-) $i^{2009} = i^{4.502+1} = i^{4.502}.i^1=  i^{4^{502}}.i^1 = 1^{502}.i^1 = i^1 = i$

b-) $i^{343} = -i$