Question

Encontre o valor do limite:$\displaystyle \large \lim_{x\,\to\,2}{\normalsize \dfrac{x^3-8}{x^2-4}}$

Answer 1

• Resposta: Esse limite é igual a 3.

Desejamos calcular o seguinte limite:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \end{gathered}$

De praxe devemos ver se o limite resulta em uma indeterminação, como foi o caso da sua questão que após substituir deu $\displaystyle\begin{gathered}\frac{0}{0} \end{gathered}$. Para remover tal indeterminação, temos alguns métodos possíveis, o que eu irei utilizar hoje é o da fatoração

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \Rightarrow \lim_{x \to 2} \frac{\cancel{(x-2)}(x^2+2x+4)}{(x+2)\cancel{(x-2)}}\end{gathered} }$

Feito isso, basta substituir o valor do x sem medo de ser feliz :)

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+2x+4)}{(x+2)}\Rightarrow \frac{2^2+2(2)+4}{2+2} \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+2x+4)}{(x+2)}\Rightarrow \frac{4+4+4}{4} \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+2x+4)}{(x+2)}\Rightarrow \frac{12}{4} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4}= 3} \end{gathered} }$

Como eu havia dito, temos muitos métodos possíveis para calcular um limite, sendo eles, o mais fácil em minha opinião é pela regra de L'Hopital que usa derivadas para calcular o limite, aplicando no numerador e no denominador. Aplicando a mesma na sua questão, sabendo que temos uma indeterminação, temos que:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \Rightarrow \lim_{x \to 2} \frac{(x^3-8)'}{(x^2-4)'} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \Rightarrow \lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{2x} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \Rightarrow \frac{3(2)^2}{2(2)} \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} \Rightarrow \frac{12}{4} \end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4}= 3} \end{gathered} }$

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