Question

Encontre o termo independente no desenvolvimento de (2x - 1/x)9

Answer 1

$Para \ a \ expans\~ao \ binomial \ (a \ + \ b)^n \Longrightarrow \\ \\ A_{(p \ + \ 1)} \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{^{p}} \ \Rightarrow \ Bin\^omio \ de \ Newton \ : \\ \\ A_{(p \ + \ 1)} \ \rightarrow \ Termo \ de \ posi\c{c}\~ao \ (p \ + \ 1); \\ \\ a,b \ \rightarrow \ Coeficientes \ binomiais; \\ \\ n \ \rightarrow \ Grau \ de \ desenvolvimento \ do \ bin\^omio; \\ \\ p \ \rightarrow \ Grau \ de \ posi\c{c}\~ao \ do \ termo \ : \ (p \ + \ 1) \ \'e \ a \ posi\c{c}\~ao.$

$\boxed{\bold{n,p \ \in \ \mathbb{N} \ s\~ao \ os \ coeficientes \ binomiais}}$

$Os \ termos \ independentes \ (\neq \ 0) \ n\~ao \ s\~ao \ acompanhados \ por \ letras! \\ \\ Ou \ seja, \ temos \ este \ panorama \ para \ um \ termo \ independente \ T \\ \ de \ um \ bin\^omio \ em \ que \ a,b \ s\~ao \ letras \Longrightarrow \\ \\ \\ T \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ \underbrace{\overbrace{a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{^{p}}}^{a, \ b \ s\~ao \ letras}}_{= \ 1}}$

$Em \ nosso \ bin\^omio \ analisado \ aqui, \ \Bigg(2\cdot x \ + \ \dfrac{1}{x}\Bigg)^9, \ temos \ : \\ \\ \\ \rightarrow \ a \ = \ 2\cdot x; \\ \\ \rightarrow \ b \ = \ \dfrac{1}{x}; \\ \\ \rightarrow \ n \ = \ 9. \\ \\ \circ Para \ o \ termo \ independente, \ \underbrace{x^{^{(\overbrace{9}^{n} \ - \ p)}}}_{a} \ \cdot \ \Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)^{^{p}} \ = \ 1 \ \therefore$

$x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ \Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)^p \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \\ x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \dfrac{1^{^p}}{x^{^p}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \\ x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ \underbrace{\dfrac{1}{x^{^p}}}_{x^{^{-p}}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \\ x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ x^{^{-p}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \\ x^{(9 \ - \ p \ - \ p)} \ = \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \\ x^{(9 \ - \ 2 \cdot p)} \ = \ \underbrace{1}_{\forall \ K \ \in \ \mathbb{C}, \ K^0 \ = \ 1} \ \rightarrow$

$x^{(9 \ - \ 2 \cdot p)} \ = \ x^0 \ \rightarrow \\ \\ 9 \ - \ 2 \ \cdot \ p \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ 9 \ = \ 2 \ \cdot \ p \ \rightarrow \ E \ aqui \ chegamos \ que : \\ \\ \bullet \ 9 \ n\~ao \ \'e \ \bold{naturalmente} \ divis\'ivel \ por \ 2.$

$Logo, \ a \ \'unica \ solu\c{c}\~ao \ do \ sistema \ para \ p \ \notin \ \mathbb{N}\dots \\ \\ Como \ n,p \ \in \ \mathbb{N}, ent\~ao \ p \ n\~ao \ assume \ \dfrac{9}{2}. \\ \\ Sendo \ assim, \ determinar \ o \ termo \ independente \ \'e \ imposs\'ivel.$

$\bold{Logo, \ \Bigg(2\cdot x \ + \ \dfrac{1}{x}\Bigg)^9 \ n\~ao \ possui \ termo \ independente.}$