Matemática, perguntado por theuscesar15, 1 ano atrás

Encontre o termo independente no desenvolvimento de (2x - 1/x)9

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Para \ a \ expans\~ao \ binomial \ (a \ + \ b)^n \Longrightarrow \\
\\
 A_{(p \ + \ 1)} \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{^{p}} \ \Rightarrow \ Bin\^omio \ de \ Newton \ :  \\
\\
A_{(p \ + \ 1)} \ \rightarrow \ Termo \ de \ posi\c{c}\~ao \ (p \ + \ 1); \\
\\
a,b \ \rightarrow \ Coeficientes \ binomiais; \\
\\ 
n \ \rightarrow \ Grau \ de \ desenvolvimento \ do \ bin\^omio; \\
\\
p \ \rightarrow \ Grau \ de \ posi\c{c}\~ao \ do \ termo \ : \ (p \ + \ 1) \ \'e \ a \ posi\c{c}\~ao. \\

\boxed{\bold{n,p \ \in \ \mathbb{N} \ s\~ao \ os \ coeficientes \ binomiais}}

Os \ termos \ independentes \  (\neq \ 0)  \ n\~ao \ s\~ao \ acompanhados \ por \ letras! \\
\\
Ou \ seja, \ temos \ este \ panorama \ para \ um \ termo \ independente \ T \\ \ de \ um \ bin\^omio \ em \ que \ a,b \ s\~ao \ letras  \Longrightarrow \\
\\
\\
T \ = \ \binom{n}{p} \ \cdot \ \underbrace{\overbrace{a^{(n \ - \ p)} \ \cdot \ b^{^{p}}}^{a, \ b \ s\~ao \ letras}}_{= \ 1}}

Em \ nosso \ bin\^omio \ analisado \ aqui, \ \Bigg(2\cdot x \ + \ \dfrac{1}{x}\Bigg)^9, \ temos \ : \\
\\
\\
\rightarrow \ a \ = \ 2\cdot  x; \\
\\
\rightarrow \ b \ = \ \dfrac{1}{x}; \\
\\
\rightarrow \ n \ = \ 9. \\
\\
\circ Para \ o \ termo \ independente, \ \underbrace{x^{^{(\overbrace{9}^{n} \ - \ p)}}}_{a} \ \cdot \ \Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)^{^{p}} \ = \ 1 \ \therefore

x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ \Bigg(\dfrac{1}{x}\Bigg)^p \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\\
x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \dfrac{1^{^p}}{x^{^p}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\\
x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ \underbrace{\dfrac{1}{x^{^p}}}_{x^{^{-p}}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\\
x^{(9 \ - \ p)} \ \cdot \ x^{^{-p}} \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\\
x^{(9 \ - \ p \ - \ p)} \ = \ 1 \ \rightarrow \\
\\
\\
x^{(9 \ - \ 2 \cdot p)} \ = \ \underbrace{1}_{\forall \ K \ \in \ \mathbb{C}, \ K^0 \ = \ 1} \ \rightarrow \\

x^{(9 \ - \ 2 \cdot p)} \ = \ x^0 \ \rightarrow \\
\\
9 \ - \ 2 \ \cdot \ p \ = \ 0 \ \rightarrow \\
\\
9 \ = \ 2 \ \cdot \ p \ \rightarrow \ E \ aqui \ chegamos \ que : \\
\\
\bullet \ 9 \ n\~ao \ \'e \ \bold{naturalmente} \  divis\'ivel \ por \ 2. \\
\\

Logo, \ a \ \'unica \ solu\c{c}\~ao \ do \ sistema \ para \ p \ \notin \ \mathbb{N}\dots \\
\\
Como \ n,p \ \in \ \mathbb{N}, ent\~ao \ p \ n\~ao \ assume \ \dfrac{9}{2}. \\
\\
Sendo \ assim, \ determinar \ o \ termo \ independente \ \'e \ imposs\'ivel. \\

\bold{Logo, \ \Bigg(2\cdot x \ + \ \dfrac{1}{x}\Bigg)^9 \ n\~ao \ possui \ termo \ independente.}

Usuário anônimo: Que resolução mais perfeita e genial S2 MEU querido Joãozinnho S2 <3 S2
Usuário anônimo: Ooooh querida MINHA S2 <3 Muito obrigado pela estima, Minha Natalyinha S2 eu me espelho em ti S2
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