Question

Encontre o resto da divisão do número 17³⁰⁴ por 5.

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível confirmar que o valor do resto da divisão do número 17³⁰⁴ por 5 é igual a 1.

Em aritmética, o resto de uma divisão de dois inteiros é o número que deve ser subtraído do dividendo para ser igual a um determinado número de vezes o divisor. Equivalentemente, é o número resultante da diferença do dividendo com o produto do divisor pelo quociente.

Este método pode se tornar obsoleto quando se trata de números de algarismos razoavelmente grandes, para esses casos alguns teoremas devem ser aplicados, um exemplo é o teorema de Fermat.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema diz para encontrar o resto da divisão do número 17³⁰⁴ por 5.

Para encontrar o resto da nossa divisão vamos aplicar o pequeno teorema de Fernat, que afirma que: Se p é um número primo, então, para todo número natural a, com a > 0 , coprimo com p, $a^{ p-1 }\equiv1 (\rm{mod} ~p)$

No nosso caso "p" é igual a 5 e vemos que 5 é um número primo pois só é divisível por 1 e ele mesmo e o número natural "a" é igual a 17, então se substituirmos no pequeno teorema de Fermat obtemos a seguinte congruência:

$17^{ 5-1 }\equiv1 (\rm{mod}~ 5)\\\\ 17^{4} \equiv 1 (\rm{mod}~ 5)$

O resultado que obtemos ao substituir no pequeno teorema de Fermat será o resto de outro número, com a ajuda deste resultado será possível encontrar o resto da divisão original.

$N \equiv 17^{304}~(\rm{mod}~ 5)$

O número 17³⁰⁴ pode ser fatorado pelas propriedades dos expoentes.

Vamos ter em mente que: 304 = 4•76

Se substituirmos esse valor em nossa expressão e aplicarmos as leis dos expoentes, obteremos

$N \equiv 17^{4\cdot 76}~(\rm{mod}~ 5)\\\\ N \equiv\left( 17^4\right)^{76}~(\rm{mod}~ 5 )$

• Substituímos o valor do resto do número que já obtivemos anteriormente:

$N \equiv\left( 1\right)^{76}~(\rm{mod}~ 5 )\\\\ N\equiv \boxed{\boxed{\red{\sf 1} }}~(\rm{mod}~5)$

Feitos os cálculos, acabamos de concluir que o valor do resto da nossa divisão é igual a 1.

Veja mais sobre o assunto do pequeno teorema de Fermat nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/23943239
• https://brainly.com.br/tarefa/12414172

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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