Question

Encontre o período da função y = 2sen(3x) – cos[(x-π)/2].

Answer 1

Resposta: O período $P$ de $y=2sen(3x)-cos\left[\frac{(x-\pi)}{2}\right]$ é $P=4\pi$.

Explicação passo-a-passo:

Antes de irmos diretamente à resolução do problema proposto, vou enunciar um teorema muitíssimo interessante e também pouco conhecido sobre as famosas Funções Periódicas. Este teorema é muito poderoso, ao passo que nos fornece o período $P'$ $\left(P' \in \mathbb{R}\right)$ de uma função periódica $y=f(x)$, no qual $f(x)=g(x)+h(x)$ ou $f(x)=g(x) \cdot h(x)$, sendo $g(x)$ e $h(x)$ funções periódicas de períodos $p'_{1}$ e $p'_{2}$ $\left(p'_{1},\ p'_{2} \in\ \mathbb{R}\right)$, respectivamente. Com isso temos que ele nos fornece o período $P'$ de uma função periódica que é expressa em uma soma ou produto de duas outras funções também periódicas, apenas em função dos períodos $p'_{1}$ e $p'_{2}$ delas. Considere $f(x)$ e $g(x)$ duas funções reais periódicas e de períodos $p_{1}$ e $p_{2}$, respectivamente; sendo $p_{1}\neq p_{2}$. Posto isso, o teorema é enunciado como segue:

Se $\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{m}{n}$, onde $m$ e $n$ são inteiros positivos e relativamente primos $\left(m,\ n\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}}\ \ \ e\ \ \ mdc(m,\ n)=1\right)$, então as funções definidas por $h(x)=f(x)+g(x)$ e $k(x)=f(x) \cdot g(x)$ são também periódicas e de período $P=n \cdot p_{1}=m \cdot p_{2}$.

Tendo em mente o teorema acima, vamos à resolução do exercício. A questão proposta nos pede o período da função trigonométrica $f:\mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{R}$, de domínio e contradomínio real, dada por $y=f(x)=2sen(3x)-cos\left[\frac{(x-\pi)}{2}\right]=2sen(3x)-sen\left(\frac{x}{2}\rigt)$. Pelo teorema acima, o período $P$ de $f$ pode ser facilmente obtido através dos períodos $p_{1}$ e $p_{2}$ das funções $g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, dada por $g(x)=2sen(3x)$, e $h:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, tal que $h(x)=cos\left[\frac{(x-\pi)}{2}\right]=sen\left(\frac{x}{2}\right)$. Vamos considerar $p_{1}$ como sendo o período de $g$ e $p_{2}$ o período de $h$, sendo assim é sabido que $p_{1}=\frac{2\pi}{\left|3\right|}=\frac{2\pi}{3}$ e $p_{2}=\frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|}=4\pi$. Logo:

$\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{4\pi}=\frac{1}{6}=\frac{m}{n}\ \ \ \Rightarrow$

$\frac{m}{n}=\frac{1}{6}\ \ \ \ \ e\ \ \ \ \left(m,\ n\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}}\ \ e\ \ mdc(m,\ n)=1\right)\ \ \ \Rightarrow$

$m=1\ \ \ e\ \ \ n=6$

Portanto, o período $P$ de $y=f(x)=2sen(3x)-cos\left[\frac{(x-\pi)}{2}\right]$ é dado por:

$P=6 \cdot\frac{2\pi}{3}=1 \cdot 4\pi=4\pi$.

Obs.: É claramente perceptível que o enunciado do teorema diz respeito à funções periódicas que equivalem à soma ou produto de duas outras também periódicas. É de fundamental importância ressaltar que o teorema estende-se também para funções periódicas que resultam a partir da diferença (assim como no exercício que você propôs) ou quociente (divisão) entre duas outras funções periódicas, ou seja, o período $P$ de $h'(x)=f(x)-g(x)$ e $k'(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ $\left(g(x)\neq 0\right)$ também é $P=n \cdot p_{1}=m \cdot p_{2}$.

Abraços!