Question

Encontre o menor período positivo da fundação cos(3x) + sen(x)

Answer 1

Encontrar o menor período positivo para a função

     f(x) = cos(3x) + sen(x)


Sabemos que as funções cosseno e seno na forma

     cos(kx)

     sen(kx)


possuem como período fundamental  T = 2π/|k|.

__________


Podemos expressar a lei de  f  como

     $f(x)=g(x)+h(x)$


Sendo  g(x) = cos(3x)  e  h(x) = sen(x).


Os períodos fundamentais de cada parcela são respectivamente

     $T_g=\dfrac{2\pi}{3}\\\\\\ T_h=2\pi$


Queremos encontrar os menores valores para  m, n  naturais  de modo que o período de  f  seja

     $T_f=m\cdot T_g=n\cdot T_h$


Da igualdade acima, segue que

     $m\cdot T_g=n\cdot T_h\\\\ \dfrac{m}{n}=\dfrac{T_h}{T_g}\\\\\\ \dfrac{m}{n}=\dfrac{2\pi}{~\frac{2\pi}{3}~}\\\\\\ \dfrac{m}{n}=2\pi\cdot \dfrac{3}{2\pi}\\\\\\ \dfrac{m}{n}=\dfrac{3}{1}$


Portanto, devemos ter

     $m=3\\\\ n=1$


O período fundamental de  f  é

     $T_f=m\cdot T_g\\\\ T_f=3\cdot \dfrac{2\pi}{3}\\\\\\ T_f=2\pi$


Bons estudos! :-)