Question

Encontre o determinante de M usando o Teorem de Laplace e depois usando a Regra de Chió:
M=1 0 -1 3
2 3 4 2
0 2 5 1
4 1 0 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\det M=-54}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar o determinante desta matriz de ordem 4 utilizando o Teorema de Laplace e a Regra de Chió.

Seja o determinante da matriz de ordem 4:

$\begin{vmatrix}1&0&-1&3\\2&3&4&2\\0&2&5&1\\4&1&0&0\\\end{vmatrix}$

a)  Utilizando o Teorema de Laplace.

Devemos escolher uma fila (linha ou coluna) e encontrarmos o somatório do produto dos elementos desta fila pelos seus cofatores, isto é:

Para uma matriz de ordem $n$, seu determinante pode ser calculado pela fórmula: $\displaystyle{\sum_{i,~j}^na_{ij}\cdot A_{ij}$.

Visto isso, escolhemos a fila com o maior número de zeros: isso vai diminuir a quantidade de cálculos. Escolhendo a linha $4$, este determinante será:

$\det=a_{41}\cdot A_{41}+a_{42}\cdot A_{42}+a_{43}\cdot A_{43}+a_{44}\cdot A_{44}$

Substituindo os elementos desta linha, teremos

$\det=4\cdot A_{41}+1\cdot A_{42}+0\cdot A_{43}+0\cdot A_{44}\\\\\\ \det=4\cdot A_{41}+A_{42}$

Os cofatores são calculados pela fórmula: $A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada a partir dos elementos que restam na matriz original após retirarmos as fila que contém o elemento escolhido.

Neste caso, o determinante será:

$\det=4\cdot (-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}0&-1&3\\3&4&2\\2&5&1\\\end{vmatrix}+(-1)^{4+2}\cdot\begin{vmatrix}1&-1&3\\2&4&2\\0&5&1\\\end{vmatrix}$

Calcule os determinantes e some os valores no expoente

$\det=4\cdot (-1)^5\cdot20+(-1)^6\cdot26$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\det=-80+26$

Some os valores

$\det=-54$

b)  Utilizando a Regra de Chió:

A condição para que possamos utilizar esta regra é que o elemento $a_{11}=1$. Então, eliminamos sua fila e coluna e realizamos o seguinte processo: montamos uma matriz de ordem menor com os elementos restantes e subtraímos de cada um deles o produto dos elementos respectivos na linha e coluna eliminada.

Neste caso, teremos:

$\det=\begin{vmatrix}3-0\cdot2&4-(-1)\cdot2&2-3\cdot2\\2-0\cdot0&5-(-1)\cdot0&1-3\cdot0\\1-0\cdot4&0-(-1)\cdot4&0-3\cdot4\\\end{vmatrix}$

Multiplique e some os valores

$\det=\begin{vmatrix}3&6&-4\\2&5&1\\1&4&-12\\\end{vmatrix}$

Calcule o determinante

$\det=3\cdot5\cdot(-12)+6\cdot1\cdot1+(-4)\cdot2\cdot4-(6\cdot2\cdot(-12)+3\cdot1\cdot4+(-4)\cdot5\cdot1)\\\\\\ \det=-180+6-32-(-144+12-20)\\\\\\ \det=-180+6-32+144-12+20\\\\\\ \det=-54$