Question

Encontre o conjunto solucao da seguinte inequação 2x-4/x2-5x+6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guilherme, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte inequação:

(2x-4) / (x²-5x+6) > 0

ii) Note que temos uma inequação-quociente, com duas funções (uma no numerador e outra no denominador), cujo resultado deverá ser positivo ( > 0 ). Note que temos, no numerador f(x) = 2x - 4; e temos no denominador a função g(x) = x²-5x+6. Veja que, como não há divisão por zero, então já deveremos impor algumas restrições quanto ao denominador, que nunca poderá ser zero. E quem faz uma equação ser igual a zero são as suas raízes. E as raízes do denominador (x²-5x+6) são: x' = 2 e x'' = 3. Logo, deveremos ter, como condições de existência da inequação da sua questão que:

x ≠ 2 e x ≠ 3 ----- Esta são as condições de existência da inequação.

iii) Agora vamos encontrar as raízes de cada uma das funções que fazem a inequação-quociente para depois, em função de suas raízes, estudarmos o sinal da inequação. Assim teremos:

f(x) = 2x-4---> raízes: 2x-4 = 0 ---> 2x = 4 ---> x = 4/2 ---> x = 2

g(x) = x²-5x+6 ---> raízes: x²-5x+6 = 0 ---> x' = 2 e x'' = 3.

iv) Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. Assim teremos:

a) f(x) = 2x-4 ......... - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + + + + + +

b) g(x) = x²-5x+6.. + + + + + + + + +(2) - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + +

c) a/b ..................- - - - - - - - - - - - - (2) - - - - - - - - - - -  (3) + + + + + + + +

Assim, como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja positiva ( > 0 ) então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).

Logo, o conjunto-solução da inequação da sua questão será este:

x > 3 ------ Esta é a resposta. E veja que sendo "x" > 3 está atendendo às condições de existência que vimos antes.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | x > 3}.

Ou ainda assim, também se você quiser:

S = (3; +∞).

É isso aí.

eu pra entender bem?

OK?

Adjemir.