Question

Encontre o Centro e o Raio da circunferência 2x² + 2y² - 4x +8y – 3 = 0 e represente na forma reduzida.

Answer 1

A forma reduzida de uma equação de circunferência de centro (a, b) e raio R é:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Temos a equação 2x² + 2y² - 4x + 8y - 3 = 0. Para chegar na forma reduzida dessa equação, primeiramente, dividimos tudo por 2:

2x² + 2y² - 4x + 8y - 3 = 0

x² + y² - 2x + 4y - 3/2 = 0

E separamos os termos que não estão acompanhados de variáveis dos outros termos, ou seja, passamos esse -3/2 pro outro lado da equação:

x² + y² - 2x + 4y = 3/2

Agora, devemos completar os quadrados. Primeiramente, somamos 1 nos dois lados da equação:

x² + y² - 2x + 4y + 1 = 3/2 + 1

x² - 2x + 1 + y² + 4y = 3/2 + 1

(x - 1)² + y² + 4y = 3/2 + 1

(x - 1)² + y² + 4y = 3/2 + 1

(x - 1)² + y² + 4y = 5/2

Para completar o outro quadrado, somamos 4 nos dois lados da equação:

(x - 1)² + y² + 4y + 4 = 5/2 + 4

(x - 1)² + (y + 2)² = 5/2 + 4

(x - 1)² + (y + 2)² = 13/2

Logo, a equação dessa circunferência na forma reduzida é (x - 1)² + (y + 2)² = 13/2. Comparando com a forma geral (x - a)² + (y - b)² = R², percebemos que:

a = 1

b = -2

R² = 13/2

Portanto, o centro dessa circunferência é o ponto (1, -2) e o raio dela é √(13/2).