Question

Encontre o 4.º termo de uma PG onde a

2 + a 4 +a 5 = 130 e a 3 + a 5 + a 6 = 260

Answer 1

$<var>\begin{cases} a_3 + a _5 + a_6 = 260\\2(a_2 + a_4 + a_5) = 260 \end{cases} \Rightarrow</var>$

 

$<var>\begin{cases} a_1q^2 + a _1q^4 + a_1q^5 = 260\\2(a_1q + a_1q^3 + a_1q^4) = 260 \end{cases} \Rightarrow</var>$

 

$<var>\begin{cases} a_1(q^2 + q^4 + q^5) = 260\\2a_1(q + q^3 + q^4) = 260 \end{cases} \Rightarrow</var>$

 

$<var>\begin{cases} q^2(1 + q^2 + q^3) = \frac{260}{a_1}\\2q(1 + q^2 + q^3) = \frac{260}{a_1} \end{cases} \Rightarrow</var>$

 

$<var>\begin{cases} q^2 = \frac{260}{a_1(1 + q^2 + q^3)}\\2q = \frac{260}{a_1(1 + q^2 + q^3)} \end{cases} \Rightarrow</var>$

 

$<var> q^2 = 2q \Rightarrow q^2 - 2q = 0 \Rightarrow q(q-2)=0 \Rightarrow q=2</var>$

 

$\text{Vamos reescrever a primeira equa\c{c}\~ao em fun\c{c}\~ao do quarto termo }a_4 \text{:}$

 

$<var>a_3 + a _5 + a_6 = 260 \Rightarrow \frac{a_4}q + a_4 \cdot q + a_4 \cdot q^2 = 260$

 

$\text{Substituindo o valor da raz\~ao }q \text{ encontrada temos:}$

 

$\frac{a_4}2 + 2a_4 + 4a_4 = 260 \Rightarrow 13a_4=520 \Rightarrow a_4=40$