Question

encontre n na P.G (n-4;n+2;3n+1

Answer 1

$\frac{n+2}{n-4}=\frac{3n+1}{n+2}\\ \\ (3n+1)(n-4)=(n+2)^2\\ \\ 3n^2-12n+n-4=n^2+4n+4\\ \\ 2n^2-15n-8=0$

Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontraremos dois valores possíveis para n.

n = -1/2   ou   n=8

Answer 2

$P.G.:(n-4, n+2, 3n+1)$

Uma das propriedades de uma progressão geométrica infere que o termo central ao quadrado é igual ao produto entre os seus 'vizinhos'. Então, podemos escrever que
$(n+2)^2= (n-4) \cdot (3n+1)$

Desenvolvendo a expressão acima:
$(n+2)^2= (n-4) \cdot (3n+1) \\ \\ n^2+4n+4= 3n^2-11n-4 \\ \\ n^2+4n+4-3n^2+11n+4= 0 \\ \\ -2n^2+15n+8= 0$

Esta equação do segundo grau acima você pode resolver pelo método que preferir. Resolvendo-a encontraremos que n será
$-2n^2+15n+8= 0 \\ \\ (-n+8)*(2n+1)=0 \\ \\ \boxed{n= 8 ~~ ou ~~ n= - \frac{1}{2}}$