Question

encontre equaçoes para ambas as retas que são tangentes a curva y= x³+1,e que são paralela a reta y =1+3x

Answer 1

Os coeficientes angulares das retas tangentes procuradas devem ser iguais à da reta

$y=3x+1$

O coeficiente angular da reta é $3.$


$\bullet\;\;$ Encontrar os valores de $x,$ para os quais temos

$f'(x)=3$


Derivando a função dada, temos:

$f(x)=x^{3}+1\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=3x^{2}$


Resolvendo a equação

$f'(x)=3\\ \\ 3x^{2}=3\\ \\ x^{2}=1\\ \\ x=-1\;\;\text{ ou }\;\;x=1$

$\bullet\;\;$ A equação da reta tangente em um ponto $x_{0}$ qualquer é dada por

$y-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$


Sendo assim, para $x_{0}=-1,$ a equação da reta tangente é

$y-f(-1)=f'(-1)\cdot (x-(-1))\\ \\ y-[(-1)^{3}+1]=3\cdot (x+1)\\ \\ y-[-1+1]=3\cdot (x+1)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}y=3\cdot (x+1) \end{array}}$


Para $x_{0}=1,$ temos a equação da outra reta tangente:

$y-f(1)=f'(1)\cdot (x-1)\\ \\ y-(1^{3}+1)=3\cdot (x-1)\\ \\ y-(1+1)=3\cdot (x-1)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}y-2=3\cdot (x-1) \end{array}}$