Question

Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x + B cos x seja uma
solução da equação diferencial
d
2
y
dx2
+
dy
dx − 2y = sen x .

Answer 1

Resposta:

A = -3/10 e B = -1/10

Explicação passo-a-passo:

A equação diferencial é

y'' + y' - 2y = sen x   ( I )

Primeiro vamos calcular as derivadas da candidata a solução. Basta usar que a derivada de sen(x) é cos(x), e a de cos(x) é - sen(x):

y  = A sen(x) + B cos(x)

y' = A cos(x) - B sen(x)

y'' = - A sen(x) - B cos(x)

Substituindo isso na EDO ( I ) obtemos:

(- A sen(x) - B cos(x)) + (A cos(x) - B sen(x)) - 2(A sen(x) + B cos(x)) = sen(x)

Simplificando obtemos:

(- A - B - 2A) sen(x) + (- B + A - 2B) cos(x) = sen(x)

-(3A+B) sen(x)  + (A - 3B) cos(x) = sen(x)

Logo, temos o sistema

3A+B = -1

A - 3B = 0

Cuja solução é A = -3/10 e B = -1/10