Question

Encontre caso exista:

lim de x tendendo a 0 pela direita de ( 1/x ) - ( 1/|x| ). Depois o limite da mesma função tendendo a x pela esquerda.

Answer 1

Conforme pede o enunciado, vamos começar calculando o limite pela direita:

$L_+ = \lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}\right)$

Para este caso, como o limite é tomado à direita do 0, temos $x > 0$. Desse modo, $|x| = x$. Usando isso:

$L_+ = \lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\right)\\\\ \boxed{L_+ = 0}$

Calculando o limite pela esquerda:

$L_- = \lim\limits_{x\to0^-}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}\right)$

Agora, como os valores de $x$ são tomados à esquerda do 0, temos que $x<0$. Assim, podemos concluir que $|x|=-x$, o que nos leva a:

$L_- = \lim\limits_{x\to0^-}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{-x}\right)\\\\ L_- = \lim\limits_{x\to0^-}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\right)\\\\ L_- = \lim\limits_{x\to0^-}\left(\dfrac{2}{x}\right)\\\\ \boxed{L_- = -\infty}$